2.3 变量间的相关关系

2．3变量间的相关关系第二章统计栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计学习导航学习目标具体实例――→了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义――→理解散点图对直观认识变量的相关关系的作用――→掌握作散点图，根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程重点难点重点：求回归直线的方程．难点：变量的相关关系．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计新知初探思维启动1．变量之间的相关关系及其判断(1)变量之间的相关关系①相关概念变量之间常见的关系有如下两类：a．一类是__________，变量之间的关系可以用函数表示．例如，圆的面积S与半径r之间就是函数关系，可以用函数S＝πr2表示．b．一类是_________，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示．例如，人的体重y与身高x有关．一般来说，身高越高，体重越重，但不能找到一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．函数关系相关关系栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计②函数关系与相关关系的区别与联系关系函数关系相关关系区别a.函数关系中两个变量之间是一种____________；a.相关关系是一种________关系；b.函数关系是一种因果关系，有这样的因，必有那样的果．例如，圆的半径由1增大为2时，圆的面积必然由π增加到4πb.相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,学习态度差，数学成绩与物理成绩都很差．这时数学成绩与物理成绩就是伴随关系联系a.在一定条件下可以相互转化．对于具有相关关系的两个变量来说，求得其回归方程后，又可以用一种确定性的关系对变量的取值进行估计；b.从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况确定性关系非确定性栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计(2)两个变量相关关系的判断①散点图的概念将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．②正相关与负相关a．正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．b．负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计做一做1.下列关系中，有随机性相关关系的是________．①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计解析：①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系．④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②④.答案：②④栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计2．回归直线的相关概念(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．方程为y^＝b^x＋a^.其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2a^＝y－b^x.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计x＝1ni＝1nxi，y＝1ni＝1nyi.(3)最小二乘法通过求Q＝i＝1nyi－bxi－a2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做_______________.最小二乘法栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计想一想求线性回归方程时应注意的问题是什么？提示：(1)求线性回归方程时，应注意只有在散点图大致呈线性相关时，求出的线性回归方程才有实际意义，因此，对数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否呈线性相关关系．(2)求线性回归方程，关键在于正确地求出系数a^、b^，由于求a^、b^的计算量较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．(3)得到的试验数据不同，则a^、b^的结果也不尽相同．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计做一做2.对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，下列说法中正确的有________个．①直线必经过点(x，y)；②x增加一个单位时，y平均增加b^个单位；③样本数据中x＝0时，可能有y＝a^；④样本数据中x＝0时，一定有y＝a^.解析：根据回归直线方程的意义，①②都正确．而③④中，样本数据x＝0时，y的值可能为a^，也可能不是a^，故③正确，④错误．答案：3栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计典题例证技法归纳题型一相关关系的判断现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：问这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？题型探究例1学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【解】两次数学考试成绩散点图如图所示：由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线附近，且y随x的变大而变大，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【名师点评】两个随机变量x和y相关关系的确定方法：(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计跟踪训练1．下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：判断所给的两个变量是否存在相关关系．编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计解：法一：根据经验可知,人的身高和体重之间存在相关关系.法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加,因此人的身高和体重之间存在相关关系．法三：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图.如图所示：我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加趋势．所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计题型二线性回归方程的应用及求法下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：例2x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【解】(1)散点图如图：栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计(2)x＝3＋4＋5＋64＝4.5，y＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，i＝14xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，i＝14x2i＝32＋42＋52＋62＝86，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计∴b^＝i＝14xiyi－4x·yi＝14x2i－4x2＝66.5－4×3.5×4.586－4×4.52＝0.7，a^＝y－b^x＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.(3)当x＝100时，y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【名师点评】求线性回归方程的步骤：(1)计算平均数x，y.(2)计算xi与yi的积，求i＝1nxiyi.(3)计算i＝1nx2i.(4)将结果代入公式b^＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx2，求b^.(5)用a^＝y－b^x－，求a^.(6)写出回归方程．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计互动探究2．如果把本题中的y的值2.5及4.5分别改为2和5，如何求回归直线方程．解：散点坐标分别为(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)．可验证这四点共线，斜率k＝3－24－3＝1，∴直线方程为y－2＝x－3，即回归直线方程为y^＝x－1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计题型三利用回归方程估计总体假设关于某设备的使用年限x年和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：例3使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0(1)画出散点图；(2)若线性相关，则求出回归方程y^＝b^x＋a^；(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【解】(1)画出散点图如图所示．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计(2)由散点图可发现，y与x呈线性相关关系．制表如下：i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x2i4916253690x＝4，y＝5，i＝15x2i＝90，i＝15xiyi＝112.3栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计则b^＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23，a^＝y－b^x＝5－1.23×4＝0.08，∴回归方程为y^＝1.23x＋0.08.(3)当x＝10时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用10年时，维修费用约为12.38万元．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计【名师点评】回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图．(2)求线性回归方程，注意运算的正确性．(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关精彩推荐典例展示第二章统计跟踪训练3．2013年元旦前夕，某市统计局统计了该市10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)若y与x是线性相关的，求回归方程，否则请说明理由；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：i＝1