2.3 数学归纳法

2.3数学归纳法我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！猜：四毛！1.了解数学推理的常用方法（归纳法）.2.了解数学归纳法的原理及使用范围.3.初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论.4.会用数学归纳法证明一些简单的等式问题.（重点、难点）探究点数学归纳法的原理与定义问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法11211,,.nnnnaaaaa问题：对于数列若（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？11a*)(1Nnnan猜想数列的通项公式为：212a313a解:414=a不完全归纳法从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法919=a717=a818=a验证:515=a616=a逐一验证，不可能！！！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？多米诺骨牌数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下.你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？猜想数列的通项公式为.1nan证明:(1)当,1时=n猜想成立.,1111==a(2),,猜想成立时假设当kn.1kak即那么,当,1时+=kn=+kkaa1=+kk11111+k.,1猜想也成立时即当kn=+1ka根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立.*Nn∈一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n都成立.归纳奠基归纳递推数学归纳法：两个步骤一个结论缺一不可已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)·180°，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为__________3【即时训练】例1用数学归纳法证明).∈(6)12)(1(321*2222Nnnnnn证明：（1）当n=1时，左边=12=1,右边=1等式成立(2)假设当n=k()时等式成立,即.6)12)(1(3212222kkkk那么,当n=k+1时22222)1(321+++•••+++kk2)1(6)12)(1(kkkk6)1(6)12)(1(2++++=kkkkkN*………6)672)(1(2+++=kkk6)32)(2)(1(+++=kkk.6]1)1(2][1)1)[(1(kkk即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何都成立.*∈Nn用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为，共有项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为_______________.[(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)]k+12（2k+1)【变式练习】即n=k+1时等式成立.所以等式对一切自然数均成立.nN【总结提升】问题1：甲同学猜想用数学归纳法证明步骤如下：1125312nn证明：假设n=k时等式成立，即2135(23)(21)1kkk那么135(21)(21)kk221(21)(1)1kkk上述证法是正确的吗？为什么？2135(23)(21)1上述证明是错误的,事实上命题本身是错误的当n=1时,左边=1,右边=0左边≠右边nnn结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.问题2：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么？212531nn11,.n（1）当时左边证：右边明21321.nkkk（2）假设当时，等式成立，即1nk则时，21121132112kkkk1.nk即时等式也成立.nN根据(1)和（2），可知等式对任何都成立结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.22135(21)(21)(21)1kkkkk上述证明没有用到n=k命题成立这一归纳假设正解：计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.)13)(23(1nn例2已知数列4117411071，，，…，…，，解：.13413101103;103107172;7274141;414114321SSSS可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想.13nnSn下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时，114S左边，11313114nn右边，猜想成立.1,kkN（）(2)假设n=k时,猜想成立，即1111144771032)(31)31kkkk（那么11111144771032)(31)31)(34)kkkk（（所以，当n=k+1时,猜想也成立.)43)(13(113kkkk)43)(13(1432kkkk对*根据(1)和(2)，可知猜想任何nN都成立.证明:(1)当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk(2)假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立.*111n(nN).1223n(n1)n1证明：【变式练习】11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.例3求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：【解题关键】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n=k(k∈N*)时命题成立，再推证n=k+1时成立.*111n.(nN)13352n12n12n1【变式练习】【证明】(1)当n=1时，左边=右边=左边=右边，所以等式成立．11133，11,2113(2)假设n=k(k≥1)时等式成立，即有所以当n=k+1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．2111k13352k12k12k11111nk113352k12k12k1(2k3)k2k31k12k12k12k32k1(2k3)2k3k1k1k12k12k32k32k11，则当时，．1.(2015·南阳高二检测)命题P(n)满足：若n=k(k∈N*)成立，则n=k+1成立，下面说法正确的是()A.P(6)成立则P(5)成立B.P(6)成立则P(4)成立C.P(4)成立则P(6)成立D.对所有正整数n，P(n)都成立【解析】选C.由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立，所以P(4)成立，则P(6)成立.C2.下面四个判断中，正确的是()A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中，当n=1时，式子的值为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中，当n=1时，式子的值为1+kC.式子(n∈N*)中，当n=1时，式子的值为D.设f(x)=(n∈N*)，则f(k+1)=f(k)+1111232n111123111n1n23n11113k23k33k4C3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N*)的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23C4.(2016·山东高考)观察下列等式:22π2π4sinsin123332222π2π3π4π4sinsinsinsin23555532222π2π3π6π4sinsinsinsin34777732222π2π3π8π4sinsinsinsin4599993……照此规律,2222π2π3π2nπsinsinsinsin2n12n12n12n1=.4n13n4.(2016·山东高考)观察下列等式:22π2π4sinsin123332222π2π3π4π4sinsinsinsin23555532222π2π3π6π4sinsinsinsin34777732222π2π3π8π4sinsinsinsin4599993……照此规律,2222π2π3π2nπsinsinsinsin2n12n12n12n1=.5.是否存在常数a、b,使得等式:对一切正整数n都成立,并证明你的结论.222212nan+n++…+=1335(2n-1)(2n+1)bn+2点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.(2)假设当n=k时结论正确,即:222212kk+k++…+=.1335(2k-1)(2k+1)4k+2(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.解:令n=1,2,并整理得311,.10324abaabb所以以下用数学归纳法证明:2222*12()1335(21)(21)42.nnnnNnnn则当n=k+1时,222222222212k(k+1)++…++1335(2k1)(2k+1)(2k+1)(