第八章多元函数微分法及其应用(1)

第八章多元函数微分法及其应用多元函数的基本概念1偏导数2全微分3多元复合函数微分法4微分法在几何上的应用5多元函数的极值6第一节多元函数的基本概念平面区域的概念1多元函数的概念2多元函数的极限3多元函数的连续性4小结5§8-1多元函数的基本概念一、平面区域的概念1.邻域设),(000yxP是xOy平面上的一个点，是某一正数．与点),(000yxP的距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记做：0(,)UP．即0(,)UP=})()(|),{(2020yyxxyx．在几何上，0(,)UP就是xOy平面上以0P为中心，为半径的圆的内部点),(yxP的全体．若在0(,)UP中去掉中心0P，则该点集称为点0P的去心邻域，记为00(,)UP，即00(,)UP=})()(0|),{(2020yyxxyx．0P2．区域设E是平面上的一个点集，点EP．如果存在P的一个邻域(,)UP，使(,)UPE，则称P为E的内点．显然,的内点属于．EP如果点集E每一个点都是内点，则称E为开集．例如，1E=22{(,)|14}xyxy．如果点P的任何一个邻域内既有属于E的点又有不属于E的点，则称P为E的边界点．E的边界点的全体，称为E的边界，记为E例如，1E的边界是圆周221xy和224xy．设D是开集，如果对于D内的任意两点，都可以用折线连接起来，且该折线上的点都属于D，则称D是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域连同它的边界一起称为闭区域．如果存在正数K，使某区域E包含于以原点为中心以K为半径的圆内，则称E是有界区域．否则为无界区域．开区域．}.41|),{(22yxyxxyo闭区域.}.41|),{(22yxyxxyo有界闭区域}0|),{(yxyx无界开区域．xyo1.二元函数的定义多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.二、多元函数的概念hrV2．设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点),(yx，变量z按照一定法则f，总有唯一确定的值与之对应，则称z是变量,xy的二元函数，记为),(yxfz，其中,xy称为自变量，z称为因变量．点集D称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{Dyxyxfzz称为该函数的值域．类似地，可定义三元及三元以上函数.当2n时,n元函数统称为多元函数．),(yxf【例1】),(yxf232yx,求),1(,)1,1(xyff．解：2(1,1)=21-3(-1)1f；222223(1,)213()yyxyfxxx．【例2】设),(,),(22yxfyyxyxyxf求解：设vyxuyx,解出)(21),(21vuyvux代入所给函数化简22)(41)()(81),(vuvuvuvuf故22)(41)()(81),(yxyxyxyxf例3求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD2．二元函数的几何意义),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,左图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:三、多元函数的极限设函数),(yxfz在点),(000yxP的某个邻域内有定义（在点),(000yxP处可以无定义），如果当点),(yxP以任意方式趋向于点),(000yxP时，相应的函数值),(yxf无限接近于一个确定的常数A，则称当(,)xy00(,)xy（或0PP）时，函数),(yxf以A为极限，记作00lim(,)xxyyfxyA或(,)fxyA（00(,)(,)xyxy）也记作0lim()PPfPA或()fPA)(0PP说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例4证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：【例5】计算下列函数的极限．（1）yxyx1lim10；（2）xyyxyx)sin(lim200；（3）31lim1xyxyy．解：（1）11011lim10yxyx．（2）xyyxyx)sin(lim200=xyxyxyx2200)sin(lim=xyxyxyxyx002200lim)sin(lim001．（3）3311limlim3111xxyyxxyyyy．四、多元函数的连续性设二元函数),(yxfz在点000(,)Pxy的某一邻域0(,)UP内有定义，如果),(),(lim0000yxfyxfyyxx则称),(yxfz在点000(,)Pxy处连续．等价的定义：设),(),(0000yxfyyxxfz(称z为函数),(yxf的全增量),若00lim0xyz,则称二元函数),(yxfz在点),(000yxP处连续.若),(yxf在区域D内的每一点都连续，则称),(yxf在区域D上连续.若),(yxf在点),(000yxP不连续，则称点),(000yxP是二元函数),(yxfz的不连续点或间断点.例如：函数)(1),(2xyyxf在抛物线2xy上无定义，所以抛物线2xy上的点都是函数),(yxf的间断点．例6讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求【例7】求下列函数的极限：（1）1tan00lim(1)xyxyxy；（2）222200()limxyxyxyxy；（3）.11lim00xyxyyx解：（1）1tan00lim(1)xyxyxy=1tan00lim(1)xyxyxyxyxy=00limtanxyxyxye=1e=e（2）∵2222222222221xyxyxyxyxyxy∴2222()1xyxyxyxyxy又∵00lim0xyxy∴222200()limxyxyxyxy=0（3）0011limxyxyxy=)11(11lim00xyxyxyyx111lim00xyyx12多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）五、小结多元函数的定义