第八章多元函数的极值及其求法

第八章第八节一、多元函数的极值二、最值应用问题三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法xyz一、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有xyzxyz机动目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0时取极大值;A0时取极小值.2)当3)当证明见第九节(P65).时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02BAC02BAC机动目录上页下页返回结束例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组ABC的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0A机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,06122BAC,0)6(122BAC,0A在点(1,2)处不是极值;,0)6(122BACABC机动目录上页下页返回结束例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此,022时当yx222)(yxz0)0,0(z为极小值.正负0在点(0,0)xyzo并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束例3.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,m2yxyxyx2220)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.)2,2(33323222233机动目录上页下页返回结束例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,cos2224xx(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2xD为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin0xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x机动目录上页下页返回结束三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx中解出从条件))(,(xxfz机动目录上页下页返回结束,0),(下在条件yx方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记.),(的极值求函数yxfz0),(yx,)(xy))(,(xxfz例如,故0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足0xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件),,(zyxfu,0),,(zyx0),,(zyx),,(),,(),,(21zyxzyxzyxfF机动目录上页下页返回结束例5.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件02zyyz02zxxz0)(2yxyx00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz机动目录上页下页返回结束得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为,340Vxyz机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,30Vzyx2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等.内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法,),(yxfz0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz0),(yx),(),(yxyxfF机动目录上页下页返回结束已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:CBAoyxED设C点坐标为(x,y),思考与练习031013yxkji)103,0,0(21yx)0,0(14922yxyx则10321yx机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.)491()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646.1S,54,53yx,5.3,2CDSS点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束作业P613,4,8,9,10习题课目录上页下页返回结束备用题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz02zyx机动目录上页下页返回结束为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件:dcba,,,abcd答案:,即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以机动目录上页下页返回结束