用洛必达法则解决导数问题

如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为未定式，并分别简记为或。洛必达（L’Hospital）法则：设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大）；那么1用洛必达法则求下列极限(1)xxx)1ln(lim0(2)xeexxxsinlim0(3)axaxaxsinsinlim(4)xxx5tan3sinlim(5)22)2(sinlnlimxxx(6)nnmmaxaxaxlim(7)xxx2tanln7tanlnlim0(8)xxx3tantanlim2(9)xarcxxcot)11ln(lim(10)xxxxcossec)1ln(lim20(11)xxx2cotlim0(12)2120limxxex(13)1112lim21xxx(14)xxxa)1(lim(15)xxxsin0lim(16)xxxtan0)1(lim例题：设函数2()1xfxexax.（Ⅰ）若0a，求()fx的单调区间；（Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当0x时，()0fx，即21xexax.①当0x时，aR；②当0x时，21xexax等价于21xexax.记21()xexgxx(0+)x，，则3(2)2'()xxexgxx.记()(2)2xhxxex(0+)x，，则'()(1)1xhxxe，当(0+)x，时，''()0xhxxe，所以'()(1)1xhxxe在(0+)，上单调递增，且'()'(0)0hxh，所以()(2)2xhxxex在(0+)，上单调递增，且()(0)0hxh，因此当(0+)x，时，3()'()0hxgxx，从而21()xexgxx在(0+)，上单调递增.由洛必达法则有，20000111lim()limlimlim222xxxxxxxexeegxxx即当0x时，1()2gx，所以当(0+)x，时，所以1()2gx，因此12a.综上所述，当12a且0x时，()0fx成立.练习已知函数2()(1)xfxxeax.（Ⅰ）若()fx在1x时有极值，求函数()fx的解析式；（Ⅱ）当0x时，()0fx，求a的取值范围.