人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

集合与函数概念§§11．．11集集合合（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。练：A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.（二）例题讲解：例1．用“∈”或“”符号填空：2⑴8N；⑵0N；⑶-3Z；⑷2Q；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。练：5页１题例2．已知集合P的元素为21,,3mmm,若2∈P且-1P，求实数m的值。练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？①身材高大的人②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体⑦所有的小正数⑧所有的数学难题⑵给出下面四个关系:3R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:()A．4个B．3个C．2个D．1个⑶下面有四个命题:①若-aΝ,则aΝ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}⑶其中正确命题的个数是(⑷由实数-a,a,a,a2,-5a5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?⑹若t1t1{t},求t的值.一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：(1)小于5的正奇数组成的集合；(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程2xx的所有实数根组成的集合；⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：()xApx如：{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2．用描述法表示下列集合：(1)由适合x2-x-20的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)方程220x的所有实数根组成的集合(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：5页2题1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2．集合A＝{x|43x∈Z，x∈N}，则它的元素是。3.已知集合A＝{x|-3x3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x2+1，x∈A}，则集合B用列举法表示是４.判断下列两组集合是否相等？（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};(2)A={自然数}与B={正整数}二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xR∣0x3};3.{xR∣x2+1=0}由此可以得到集合的分类:::()emptyset有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：A3,9,274典型例题【题型一】元素与集合的关系１、设集合A＝｛１，a,b｝,B=｛a,a２,ab｝,且A=B，求实数a，b.２、已知集合A＝｛a+2，（a+1)２，a２+3a+3｝若1∈A,求实数a的值。【题型二】元素的特征１、⑴已知集合M=｛x∈N∣x16∈Z｝,求M⑵已知集合C=｛x16∈Z∣x∈N｝,求C点拔：要注意M与C的区别，集合M中的元素是自然数x，满足x16是整数，集合C是的元素是整数x16，满足条件是x∈N练习：１.给出下列四个关系式：①3∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4２.方程组的解组成的集合是()A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是()A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝4.下列说法正确的是()A.｛0｝是空集B.｛x∈Q∣x6∈Z｝是有限集C.｛x∈Q∣x2+x+2=0｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合二填空题：５、以实数为元素构成的集合的元素最多有个；６、以实数a２，2-a.,4为元素组成一个集合A，A中含有２个元素，则的a值为.７、集合M=｛y∈Z∣y=x38,x∈Z｝,用列举法表示是M＝。８、已知集合A＝｛2a,a2-a｝，则a的取值范围是。三、解答题：９、设A＝｛x∣x2+(b+2)x+b+1=0,b∈R｝求A的所有元素之和。10.已知集合A＝｛a,2b-1,a+2b｝B=｛x∣x3-11x2+30x=0｝,若A=B，求a,b的值。集集合合间间的的基基本本关关系系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A，{1,2,3,4,5}B；（2）{}C北京一中高一一班全体女生，{}D北京一中高一一班全体学生；（3）{|}Exx是两条边相等的三角形，{}Fxx是等腰三角形观观察察可可得得：：13yxyx表示任意一个集合A表示{3，9，27}⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：()ABBA或读作：A包含于B，或B包含A当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若ABBA且，则AB。如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。⒊真子集定义：若集合AB，但存在元素,xBxA且，则称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA）读作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空：0；0；{}；0{}5.几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。练习：填空：⑴2N；{2}N；A;⑵已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x8,x∈N}，则AB；AC；{2}C；2C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。（二）例题讲解：【题型１】集合的子集问题１、写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。２、已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M３、已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝若BA，则实数a的值构成的集合是（）A.｛-1,0,31｝B.｛-1,0｝C.｛-1,31｝D.｛31,0｝4.设集合A=｛２，８，a｝B=｛2,a2-3a+4｝且BA，求a的值。5.已知集合25,121AxxBxmxm且AB，求实数m的取值范围。（3m）练习：1、判断下列集合的关系.(1)N_____Z;(2)N_____Q;(3)R_____Z;(4)R_____Q;(5)A={x|(x-1)2=0}，B={y|y2-3y+2=0};(6)A={1,3}，B={x|x2-3x+2=0};(7)A={-1,1}，B={x|x2-1=0};（8）A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}。2、设A={0，1}，B={x|xA}，问A与B什么关系？3、判断下列说法是否正确？BA表示：AB6（1）NZQR；（2）AA；（3）{圆内接梯形}{等腰梯形}；（4）NZ；（5）{}；（6）{}4.有三个元素的集合A，B，已知A={2，x，y}，B={2x，2，2y}，且A=B，求x，y的值。解答题：1.已知集合}5|{xaxA，xxB|{≥}2，且满足BA，求实数a的取值范围。2.已知三个元素集合A＝｛x,xy,x-y｝,B=｛0,∣x∣,y｝且A=B，求x与y的值。11..11..33集集合合间间的的基基本本运运算算（（共共11课课时时））考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：