高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念

第1页共8页3.1.1数系的扩充和复数的概念[学习目标]1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.(2)虚数单位i有哪些性质？答案(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).(2)虚数单位i有如下几个性质：①i的平方等于－1，即i2＝－1；②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实第2页共8页部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)集合表示：思考(1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数a＋bi的实部是a，虚部是b吗？答案(1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.(2)不一定，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部才是a，虚部才是b.知识点三复数相等复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.即它们的实部与虚部分别对应相等.思考(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R).z＝0，则a＋b的值为多少？(2)若复数z1，z2为z1＝3＋ai(a∈R)，z2＝b＋i(b∈R)，且z1＝z2，则a＋b的值为多少？答案(1)0；(2)4.题型一复数的概念例1写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.反思与感悟复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b第3页共8页为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3答案A解析①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.题型二复数的分类例2设z＝12log(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是m－1＞0，5－m＞0，5－m≠1，解得1＜m＜5，且m≠4.(2)因为z是纯虚数，故其实部12log(m－1)＝0，虚部log2(5－m)≠0，m应满足的条件是m－1＝1，5－m＞0，5－m≠1，解得m＝2.反思与感悟将复数化成代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的分类：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当b≠0，a＝0时，z为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.跟踪训练2实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.(3)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6≠0时，z是纯虚数，解得k＝4.第4页共8页(4)当k2－3k－4＝0，k2－5k－6＝0时，z＝0，解得k＝－1.题型三两个复数相等例3(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.(2)关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.解(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.解∵z＞0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∵z＞0，∴3x－1－x＞0，且x2－4x＋3＝0.对于不等式3x－1－x＞0，x＝1满足，x＝3不满足，故x＝1.1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅答案C解析因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i,1}，又B＝{1，－1}，故A∩B＝{1，－1}.2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1答案C第5页共8页解析令a2＝2，－2＋b＝3，得a＝±2，b＝5.3.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案C4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为.答案1或2解析∵M∪N＝N，∴M⊆N，∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件，得m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0或m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2.5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝.答案1解析关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.所以n2－2n＋1＝0，m－n＝0.所以m＝n＝1.1.复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.一、选择题1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A.－iB.iC.－1D.1答案A解析∵i2＝－1，∴－i2＝i·(－i)＝1，∴z＝－i.2.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的()第6页共8页A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案B解析若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.3.以－5＋2i的虚部为实部，以5i＋2i2的实部为虚部的新复数是()A.2－2iB.－5＋5iC.2＋iD.5＋5i答案A解析设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－5＋2i的虚部为2；复数5i＋2i2＝5i＋2×(－1)＝－2＋5i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.4.若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为()A.12B.2C.0D.1答案D解析由复数相等的充要条件知，x＋y＝0，x－1＝0，解得x＝1，y＝－1，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.5.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为()A.1B.0C.－1D.－1或1答案B解析由题意知mm＋1＝0，m2－1≠0，∴m＝0.6.若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A.2kπ－π4(k∈Z)B.2kπ＋π4(k∈Z)C.2kπ±π4(k∈Z)D.k2π＋π4(k∈Z)答案B解析由题意，得sin2θ－1＝0，2cosθ＋1≠0，解得θ＝kπ＋π4θ≠2kπ±3π4(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋π4，k∈Z.第7页共8页二、填空题7.若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是.答案1解析因为实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，所以x＋xi＋y－yi＝2，可得x＋y＝2，x－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.8.若复数m－3＋(m2－9)i≥0，则实数m的值为.答案3解析依题意知m－3≥0，m2－9＝0，解得m≥3，m＝－3或3，即m＝3.9.已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为.答案{0}解析由z1＞z2，得2a2＋3a＝0，a2＋a＝0，－4a＋1＞2a，解得a＝0，故a的取值集合为{0}.10.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为.①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根.答案1解析因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错.三、解答题11.当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋m2－7m＋12m＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)由m2＋m－6＝0，m＋3≠0，得m＝2.∴当m＝2时，z是实数.(2)由m2＋m－6≠0，m＋3≠0，得m≠2且m≠－3，m≠－3，即m≠2且m≠－3.第8页共8页∴当m≠2且m≠－3时，z是虚数.(3)由m2＋m－6≠0，m＋3≠0，m2－7m＋12＝0，得m≠2且m≠－3，m≠－3，m＝3或m＝4，即m＝3或m＝4.∴当m＝3或m＝4时，z是纯虚数.12.已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，λ，m∈R，θ∈0，π2，z1＝z2，求λ的取值范围.解由z1＝z2，λ，m∈R，可得m＝2cosθ，4－m2＝λ＋3sinθ.整理，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4sinθ－382－916.∵θ∈0，π2，∴sinθ∈[0,1]，∴λ∈[－916，1].13.已知关于m的一元二次方程m2＋m＋2mi－12xy＋(x＋y)i＝0(x，y∈R).当方程有实根时，试确定点(x，y)所形成的轨迹.解不妨设方程的实根为