高中数学选修2-2导数的几何意义

第1页共12页1.1.3导数的几何意义[学习目标]1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.知识点一曲线的切线如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.知识点三导函数的概念第2页共12页对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数y＝f(x)的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|0xx就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即y′|0xx＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0).思考如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？答案“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关.题型一求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程.解因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f′(1)＝limΔx→01＋Δx3－1＋Δx＋3－1－1＋3Δx＝limΔx→0Δx3＋3Δx2＋2ΔxΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋3Δx＋2]＝2，故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.反思与感悟若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).跟踪训练1(1)曲线f(x)＝13x3－x2＋5在x＝1处切线的倾斜角为.(2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为.答案(1)34π(2)(－1，－1)或(1,1)解析(1)设切线的倾斜角为α，则tanα＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx第3页共12页＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→0131＋Δx3－1＋Δx2＋5－13－1＋5Δx＝limΔx→013Δx3－ΔxΔx＝limΔx→0[13(Δx)2－1]＝－1.∵α∈[0，π)，∴α＝34π.∴切线的倾斜角为34π.(2)设点P的坐标为(x0，x30)，则有limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→03x20Δx＋3x0Δx2＋Δx3Δx＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20.∴3x20＝3，解得x0＝±1.∴点P的坐标是(1,1)或(－1，－1).2.求曲线过某点的切线方程例2求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.解y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δx－x＋Δx3－2x＋x3Δx＝limΔx→0[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点的坐标为(x0,2x0－x30)，∴切线方程为y－2x0＋x30＝(2－3x20)(x－x0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x30＝(2－3x20)(－1－x0)，即2x30＋3x20＝0，∴x0＝0或x0＝－32.第4页共12页∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38).当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y＋2＝－194(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.反思与感悟若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.解由题意知y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0).∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20.又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′|0xx＝2x0.∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为y0－5x0－3＝x20－5x0－3.∴2x0＝x20－5x0－3，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.题型二求导函数例3求函数f(x)＝x2＋1的导函数.解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝x＋Δx2＋1－x2＋1＝2xΔx＋Δx2x＋Δx2＋1＋x2＋1，∴ΔyΔx＝2x＋Δxx＋Δx2＋1＋x2＋1，第5页共12页∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x＋Δxx＋Δx2＋1＋x2＋1＝xx2＋1.反思与感悟求解f′(x)时，结合导数的定义，首先计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x).然后，再求解ΔyΔx，最后得到f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx.跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1).解因Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－1－(x2－1)＝2Δx·x＋(Δx)2，故limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02Δx·x＋Δx2Δx＝2x，得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.题型三导数几何意义的综合应用例4设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝3x2＋2ax－9＝3(x＋a3)2－9－a23≥－9－a23.由题意知f′(x)最小值是－12，∴－9－a23＝－12，a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.反思与感悟与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练4(1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为.(请用“＞”连接)第6页共12页(2)曲线y＝1x和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.答案(1)k1＞k3＞k2(2)34解析(1)结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.(2)联立y＝1x，y＝x2，解得x＝1，y＝1，故交点坐标为(1,1).曲线y＝1x在点(1,1)处切线方程为l1：x＋y－2＝0，曲线y＝x2在点(1,1)处切线方程为l2：2x－y－1＝0.从而得S＝12×2－12×1＝34.因对“在某点处”“过某点”分不清致误例5已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.错解因y′＝3x2，f′(1)＝3.故切线方程为3x－y－2＝0.错因分析上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解.正解当Q(1,1)为切点时，可求得切线方程为y＝3x－2.当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0，x30)，则由导数的定义，在x＝x0处，y′＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，将点(1,1)代入，得1－x30＝3x20(1－x0)，即2x30－3x20＋1＝0，所以(x0－1)2·(2x0＋1)＝0，所以x0＝－12，或x0＝1(舍)，第7页共12页故切点为－12，－18，故切线方程为y＝34x＋14.综上，所求切线的方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.防范措施解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.1.下列说法中正确的是()A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点答案D解析y＝sinx，x∈R在点(π2，1)处的切线与y＝sinx有无数个公共点.2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.2答案C解析f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－1答案A解析由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.4.已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°答案B第8页共12页解析∵y＝12x2－2，∴y′＝limΔx→012x＋Δx2－2－12x2－2Δx＝limΔx→012Δx2＋x·ΔxΔx＝limΔx→0x＋12Δx＝x.∴y′|x＝1＝1.∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.5.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为.答案(3,30)解析设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→02Δx2＋4x0·Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4，令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速