解三角形难题汇编

11．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足sinBsinA＝1－cosBcosA，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0θπ)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A.8＋534B.4＋534C．3D.4＋52A[由已知得sin(A＋B)＝sinA⇒sinC＝sinA⇒c＝a，又b＝c，∴等边三角形ABC，∴AB2＝5－4cosθ，SOACB＝12×1×2sinθ＋34AB2＝sinθ－3cosθ＋534＝2sinθ－π3＋543≤2＋543＝8＋534选A.]2．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE＝2，则S四边形BCEDS△ABC的最小值等于________．23[设AD＝x，AE＝y(0x≤4，0y≤3)，则因为DE2＝x2＋y2－2xycos60°，所以x2＋y2－xy＝4，从而4≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以S四边形BCEDS△ABC＝1－S△ADES△ABC＝1－12xysin60°12×3×4sin60°＝1－xy12≥1－412＝23.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2＋b2＋c2＝43，则△ABC面积的最大值为________．55[由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝43得，7a2＋2b2＝43，即2b2＝43－7a2，2由余弦定理得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2b，所以sinC＝1－cos2C＝4b2－a22b＝83－15a22b，则△ABC的面积S＝12absinC＝12ab×83－15a22b＝14a83－15a2＝14a2（83－15a2）＝14×11515a2（83－15a2）≤14×115×15a2＋83－15a22＝14×115×43＝55，当且仅当15a2＝83－15a2取等号，此时a2＝4315，所以△ABC的面积的最大值为55，4．如图，△ABC中，sin12∠ABC＝33，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝433.(1)求BC的长；(2)求△DBC的面积．解(1)因为sin12∠ABC＝33，所以cos∠ABC＝1－2×13＝13.△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－4a3①在△ABD和△DBC中，3由余弦定理可得cos∠ADB＝4b2＋163－41633b，cos∠BDC＝b2＋163－a2833b.因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以有4b2＋163－41633b＝－b2＋163－a2833b，所以3b2－a2＝－6，②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.(2)由(1)得△ABC的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC的面积为223.5．已知O(0,0)，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，若kOA→＋(2－k)OB→＋OC→＝0(0k2)，则cos(α－β)的最大值是________．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－3cosCcosB＝3c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若B为钝角，b＝10，求a的取值范围．[解析](1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则3c－ab＝3ksinC－ksinAksinB＝3sinC－sinAsinB，所以cosA－3cosCcosB＝3sinC－sinAsinB，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此sinCsinA＝3.4(2)由sinCsinA＝3得c＝3a.由题意知a＋cba2＋c2b2，又b＝10，所以52a10.7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝3bc且b＝3a，则△ABC不可能．．．是()A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形[答案]D[解析]由cosA＝b2＋c2－a22bc＝32，可得A＝π6，又由b＝3a可得ba＝sinBsinA＝2sinB＝3，可得sinB＝32，得B＝π3或B＝2π3，若B＝π3，则△ABC为直角三角形；若B＝2π3，C＝π6＝A，则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC不可能为锐角三角形，故应选D.8．在△ABC中，AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，则△ABC面积的最大值为()A.21B.3214C.212D．321[答案]B[解析]设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∵AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc＝1－3cosA2，∴cosA≥25，∴0sinA≤215，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC5面积的最大值为3214.9．已知在△ABC中，C＝2A，cosA＝34，且2BA→·CB→＝－27.(1)求cosB的值；(2)求AC的长度．[解析](1)∵C＝2A，∴cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝18，∴sinC＝378，sinA＝74.∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝74×378－34×18＝916.(2)∵ABsinC＝BCsinA，∴AB＝32BC.∵2BA→·CB→＝－27，cosB＝916，∴|BA→||CB→|＝24，∴BC2＝16，AB＝6，∴AC＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB＝16＋36－2×4×6×916＝5.