平面向量的基本概念

平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向5.有向线段与向量的区别；（1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线段表示相同（等）的向量。③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；7.向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作|AB|.8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0∥ａ。说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．.11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共线向量（平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是（A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.任意两个相等的非零向量的始点与终点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.BAOCDEF例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OCOBOA,,相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：DOCBOAOBDCEOOCABEDFO向量的加法运算及其几何意义１．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２．三角形法则（记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”）3.三角形法则的来由如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂACBCAB，规定：a+0-=0+a4.向量加法的字母公式：ABBCAC5.平行四边形法则图1如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：（1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点ABCa+ba+baabbaｂba+ba和两个分向量的起点是同一起点。（2）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起，然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.一般结论当a,b不共线时,|a+b||a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.二．例题讲解例1、已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a+b+c|等于（）A．0B．3C．2D．22.解：DCA作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=22,所以选D.例2.化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.例3.如图所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四边形ADEC为平行四边形.∴DE=AC,CE=AD.于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,∴|a+b+c|=2|AD|=83.1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2.（1）．判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.①0=0②.b-b=0（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是___________.（3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？___________3．下列说法正确的是（）A.平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在同一条直线上的向量4．若非零向量a与b共线，则以下说法下确的是（）A.a与b必须在同一直线上B.a与b平行，且方向必须相同`C.a与b平行，且方向必须相反D.a与b平行1、在四边形ABCD中，若ACABAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是（）A、a与b为平行向量B、a与b为模相等的向量C、a与b为共线向量D、a与b为相等的向量3、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a||b|且a与b同向，则abD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|平面向量的加法运算1、用三角形法则和平行四边形法则分别画出ba2、下列命题中正确的是()A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a||b|且a与b同向，则abD.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|3、已知正方形的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C.2D.224、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是A、a与b为平行向量B、a与b为模相等的向量C、a与b为共线向量D、a与b为相等的向量5、在四边形ABCD中，若ACABAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形6、已知正方形ABCD的边长为1，ABa，BCb，ACc，则abc等于()(A)0(B)3(C)2(D)227、如果a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）(A)ab(B)1ab=(C)22ab(D)abbaba