过一点求曲线的切线方程的三种类型

过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(xfy上一点))(,(00xfxP，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(xf的导数)(xf，再将0x代入)(xf求出)(0xf，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0xfy=)(0xf)(0xx，并化简﹒例1求曲线33)(23xxxf在点)1,1(P处的切线方程﹒解：由题设知点P在曲线上，∵xxy632，∴曲线在点)1,1(P处的切线斜率为3)1(f，所求的切线方程为)1(31xy，即43xy﹒2.已知曲线)(xfy上一点))(,(11xfxA，求过点A的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A一定为切点，事实上可能存在过点A而点A不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00xfxP，先求出函数)(xf的导数)(xf，再将0x代入)(xf求出)(0xf，即得切线的斜率（用0x表示），写出切线方程)(0xfy=)(0xf)(0xx，再将点A坐标),(11yx代入切线方程得)(01xfy=)(0xf)(01xx，求出0x，最后将0x代入方程)(0xfy=)(0xf)(0xx求出切线方程﹒例2求过曲线xxy23上的点)1,1(的切线方程﹒解：设切点为点)2,(0300xxx，232xy，切线斜率为2320x，切线方程为))(23()2(020030xxxxxy﹒又知切线过点)1,1(，把它代入上述方程，得)1)(23()2(100030xxxx﹒解得10x，或210x﹒所求切线方程为)1)(23()21(xy，或)21)(243()181(xy，即02yx，或0145yx﹒上面所求出的两条直线中，直线02yx是以)1,1(为切点的切线，而切线0145yx并不以)1,1(为切点，实际上它是经过了点)1,1(且以)87,21(为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3.已知曲线)(xfy外一点))(,(11xfxA，求过点A作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例3过原点O作曲线6324xxy的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编）解：由题设知原点O不在曲线上，设切点坐标为P)63,(20400xxx，xxy643，切线斜率为（03064xx），切线方程为：))(64()63(00302040xxxxxxy﹒又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040xxxxx﹒整理得：0)2)(1(2020xx﹒解得20x，或20x﹒所求切线方程为：xy22或xy22﹒练习：1.求曲线14)(23xxxf在点)2,1(P处的切线方程﹒2.求过曲线34313xy上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12xxy的切线，求切线方程﹒答案：1.035yx；2.044yx或02yx；3.023yx或02yx﹒