高三专题复习内切球与外接球PDF

yxabczzyxDCAB专题25内切球与外接球简单知识回顾一、内切球1．定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球．2．所有三棱锥均有内切球，若三棱锥的体积为V，表面积为S，内切球半径为r，则13VSr，即3VrS．3．正四面体的内切球球心和外接球球心重合，若正四面体的棱长为a，则其高63ha，球心在高的四等分点，即外接球半径3644Rha，内切球半径16412rha．二、外接球1．定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.2．主要性质性质1：过小圆圆心且垂直于小圆平面的直线过球心（类比：圆的垂径定理）；性质2：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）．三、外接球的几种模型1．圆柱模型：若三棱锥的一条侧棱垂直于底面，或顶点在底面的投影在底面三角形外接圆的圆周上，则可将该三棱锥还原成三棱柱，进而还原成圆柱体，圆柱的两底面相当于球的南北纬度同纬度的小圆，设小圆半径为r，圆柱高为h，则外接圆半径222hRr．2．圆锥模型：若三棱锥的顶点在底面的投影是底面三角形的外心，即底面圆的圆心，则可将该三棱锥还原成圆锥，即底面是球的一个小圆，顶点是球的北极点，设小圆半径为r，圆锥的高为h，则222()hRrR（不论球心在高线上，还是在高的延长线上，该式都成立）．3．圆台模型：若几何体的上底面所在小圆和下底面所在小圆的半径不相等，则可归结为圆台模型，球心在两小圆圆心的连线上，此时可利用两次勾股定理，联立方程组求解，特别要注意的是，球心在高线上，还是在高的延长线上．4．对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB，BCAD，BDAC）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,,，xBCAD，yCDAB，zBDAC，列方程组，222222222abxbcycaz2222222(2)2xyzRabc，5．二面角模型已知三棱锥两个平面所成的二面角的大小，找出一个三角形的外心，通过该外心作该平面的垂线，球心在该垂线上，同理，通过另一个三角形的外心作垂线，两条垂线的交点即为球心，然后可以通过几何关系计算球的半径．三年高考真题汇编1．（2018新课标Ⅲ）设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A．123B．183C．243D．5431．答案：B解析：设ABC△的边长为a，则21sin609362ABCSaa△，此时ABC△外接圆的半径为116232sin60232ar，故球心O到面ABC的距离为2216122Rr，故点D到面ABC的最大距离为26R，此时1193618333DABCABCDABCVSd△，故选B．ADBCEOM2．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．B．34C．2D．42．答案：B解析：由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积23ππ4Vrh，故选B．3．（2016新课标Ⅲ）在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）A．4B．92C．6D．3233．答案：B解析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选B．模拟试题汇编1．（2018广州一模）已知三棱锥PABC的底面ABC是等腰三角形，ABAC⊥，PA⊥底面ABC，1PAPB，则这个三棱锥内切球的半径为．1．答案：336解析：设内切球半径为r，11111113326PABCABCVSPA△，表面积2111333(2)22242ABCPABPACPBCSSSSS△△△△，由等体积法可知13PABCVSr，所以3133633VrS．2．（2018顺德一模）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，1ACABSA，2BCSCSB，则球的表面积为（）A．34B．3C．8D．122．答案：B解析：因为222222222,,,SAABSBSAACSCABACBC,,SAABSAACABAC，故可将三棱锥SABC补全成一个棱长为1的正方体，球的直径D即为正方体的体对角线，即23,3DSDSABCSABC3．（2018广州调研）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．3．答案：11解析：该三棱锥的直观图为如图所示的三棱锥PABC，该三棱锥的外接球也是三棱柱ABPCDQ的外接球，5,135APABP，设ABP△的外接圆半径为r，则5102sinsin135APrABP，所以102r，设外接球半径为R，则2211011222R，所以外接球的表面积2411SRABCPABCPDQ4．（2018广州二模）体积为3的三棱锥PABC的顶点都在球O的球面上，PA平面ABC,2PA，120ABC，则球O的体积的最小值为（）A．773B．2873C．19193D．761934．答案：B解析：12333,332PABCABCABCABCVSPASS△△△，1333sin,6242ABCSacBacac△，在ABC△中，由余弦定理可得222222cos2318,32bacacBacacacacacb≥≥（当且仅当6ac时等号成立）．设ABC△外接圆半径为r，三棱锥PABC的外接球半径为R，则32226sinsin120brB≥，所以222(2)(2)24428,7RrPAR≥≥，故外接球的体积3428733VR≥．5．（2018衡水金卷）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑MABC中，MA平面ABC，2MAABBC，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为．5．答案：2482解析：设MC的中点为O，如图，且ABC△为直角三角形，得90ABC．由,,MAMBMC两两垂直，可知MC为RtMAC△和RtMBC△的斜边，故点O到点,,,MABC的距离相等，故点O为该鳖臑的外接球的球心，该鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,Rr，则由2222(2)MAABMCR，得24444R，解得3R．由等体积法，知11()33ABCMACMABMBCABCSSSSrSMA△△△△△．即1111(2222222)2223232r，解得21r，故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为224()4(3322)2482Rr俯视图侧视图正视图3226．（2018山西一模）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABCABC中，15,3,4AAACABBC，则阳马111CABBA的外接球的表面积是（）ABCBCABC1A1B1CA．25B．50C．100D．2006．答案：B解析：四棱锥111CABBA的外接球即为三棱柱111ABCABC的外接球．又三棱柱111ABCABC的外接球的直径152AC，其表面积50S．7．（2018三明模拟）已知某几何体的三视图如图所示，其正视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．188π23B．8πC．52π5D．96π237．答案：A解析：该几何体的直观图为如图1所示的三棱锥，其中AB底面BCD，2,3,2BCCDBD，则2222346cos212223BCCDBDBCDBCCD，所以138sin12BCD，设BCD△的外接圆半径为r，则24122,sin138138BDrrBCD．可将该三棱锥ABCD还原成一个三棱柱AEFBCD（如图2），进而还原成一个圆柱12OO（如图3），则球心O为12OO的中点．设外接球半径为R，则2222447112323Rr，所以外接球的面积2188π423SR．ABCDABCDEFO1O2O8．（2018衡中四调）若PAD△所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，2,PAPDABAPD60．若点,,,,PABCD都在同一个球面上，则此球的表面积为()A．253B．283C．282127D．2521278．答案：B解析：APD△是一个正三角形，所以ABCD是正方形，可将该图形还原成一个正三棱柱ADPBCQ，则球心为两正三角形中心连线12OO的中点，如图，2223,13AOOO，则22222247133ROAAOOO，所以外接球的表面积22843SR．PABCD1O2OOQ9．（2018衡中六调）已知三棱锥ABCD的四个顶点,,,ABCD都在球O的表面上，BCCDAC，平面BCD，且22,2ACBCCD，则球O的表面积为（）A．4B．8C．16D．229．答案：C解析：由题可知，,,CACBCD两两垂直，所以可将该三棱锥ABCD还原成一个长方体，长方体的对角线l即为外接球的直径D，所以22222(22)2216Dl，所以外接球的表面积216SD10．（2018广东一模）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．,,,EFGH为圆O上的点，,,,ABEBCFCDGADH△△△△分别是以,,,ABBCCDDA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,,,ABBCCDDA为折痕折起,,,ABEBCFCDGADH△△△△，使得,,,EFGH重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．10．答案：500327解析：如下图，连结OE交AB于点I，设,,,EFGH重合于点P．正方形的边长为(0)xx，则2xOI，62xIE．因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以6222xx，解得4x．设该四棱锥的外接球的球心为Q，外接球半径为R，则2222,4223OCOP，222(23)(22)RR，解得53R，外接球的体积34550033273V．ABDCPOQ11．（2018深圳一模）如图，格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外ABCDOEFGHPABCDMNO接球表面积为（）A．169B．254C．16D．2511．答案：D解析：该几何体的直观图为如图所示的三棱锥PABC，其中底面ABC△是等腰直角三角形，取AC中点D，连接PD，则球心O在直线PD上，设ODx，则4POx，2224OBODBDx，因为POOB，所以244xx，解得32x，所以外接球的半径542Rx，外接球表面积2425SR．12．（2018深圳二模）