函数项级数一致收敛的判别.

学号：0901174099函数项级数一致收敛的判别专业名称：数学与应用数学年级班别：2009级1班姓名：张庆明指导教师：左红亮2013年04月河南师范大学新联学院本科毕业论文河南师范大学新联学院本科毕业论文1函数项级数一致收敛的判别摘要：函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题。本文则在数项级数的基础上,分析函数项级数的收敛性定义及其判定,函数项级数的分析性质和函数的一致收敛有关。而因此本论文中提出了函数级数一致收敛的定义,柯西一致收敛准则,魏尔斯特拉斯判别法(M判别法),狄利克雷判别法,阿贝尔判别法,余项判别法,积分判别法。本文对函数项级数一致收敛的判别法进行推广,主要归纳总结出了对数判别法,导数判别法,连续性判别法,逼敛性判别法以及M判别法的推论等几种判别法,同时并应用函数项级数一致敛的定义,重要判别法及其充要条件给出了论文中一些结论的证明。关键词：函数项级数；一致收敛性；判别法。DiscriminationofuniformconvergenceoffunctionseriesAbstract:Theuniformconvergenceoffunctionseriesistheconceptofseriesoffunctionsarethemostbasicandmostimportantproblem.Inthispaper,onthebasisofanumberofseries,thedefinitionsofconvergenceoffunctionseriesanditsdecision,uniformconvergenceanalysisofpropertiesandfunctionsrelatedtothefunctionofseries.Therefore,thispaperproposesadefinitionofuniformconvergenceoffunctionseries,CauchyuniformconvergencecriteriatheWeierstrassdiscriminationmethod(Midentificationmethod),Dirichletdiscriminationlaw,Abeldiscriminantlaw,theremainderdiscriminantmethod,integrationcriterionmethodandarticleonthefunctionseriesconvergencediscriminantmethodtopromotemainlysummarizedDiagnosticMethodderivativetest,continuitydiscriminationlaw,forcingseveraldiscriminantmethodofconvergencediscriminationlawandMinferenceofdiscriminationlaw,andapplyfunctionseriesconsistentdefinitionofconvergence,itisimportantdiscriminationmethodandthenecessaryandsufficientconditionsaregivensomeproofoftheconclusionofthepaper.Keywords:FunctionSeries;uniformconvergence;discriminationlaw.河南师范大学新联学院本科毕业论文2前言一致收敛性是函数项级数的一个重要性质,有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用。判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则,M-判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，莱布尼兹判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义，柯西判别法，M-判别法，阿贝尔判别法，莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了方便。函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广,同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例,它们在研究内容上有许多相似之处。对于函数项级数,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质.比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微,判断出和函数的连续性、可积性和可微性。这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求。即函数项级数的一致收敛性。文献[1]讨论了函数项级数一致收敛的基本判别法,给出了一致收敛的定义和莱布尼茨判别法;文献[6][7][8]给出了函数项级数一致收敛的重要判别法,如阿贝尔、狄利克雷以及积分判别法;文献[5][3]给出了函数项级数一致收敛的两个充要条件:柯西准则,余项定理,并用上述方法判别一致收敛以及证明其它的一些定理;文献[10]对该问题进行了推广,得到了比试和根式判别法,同时也有其它一些文献,得到了一些其它的结论。本文结合上述文献,总结出了函数项级数一致收敛的其它判别法,如对数判别法,导数判别法,M判别法的推论等,并给出了一些判别法的证明,此外也用一些例题验证它的可行性。1.函数项级数一致收敛的定义定义1[1]设{()}nux是定义在数集Ｅ上的一个函数列,表达式123()()()()nuxuxuxuxEx,(1)称为定义在定义域Ｅ上的函数项级数,简记为1()nnux或()nux。称1()()nnkkSxux,Ex1,2,3,n,(2)为函数项级数(1)的部分和函数列。若Ex0,数项级数123()()()()nuxuxuxuxEx,(3)河南师范大学新联学院本科毕业论文3收敛,即部分和001()()nnkkSxux当n时极限存在,则称级数(1)在点0x收敛,0x称为(1)的收敛点。若级数(3)发散，则称级数(1)在点0x发散。若级数(1)在Ｅ上的某个子集Ｄ上的每个点都收敛,则称级数(1)在Ｄ上收敛,并且称(1)的收敛域为Ｄ,级数(1)在Ｄ上的每一点x与其所对应的数项级数(3)的和()Sx构成一个定义在Ｄ上的函数,称为(1)的和函数,并写作12()()()(),nuxuxuxSxxD,即lim()()nnSxSx,xD,也就是说，函数项级数(1)的收敛性就是指它的部分和函数列(2)的收敛性。定义12设()nSx是函数项级数()nux的部分和数列。若()nSx在数集Ｄ上一致收敛于函数()Sx,则称函数项级数()nux在Ｄ上一致收敛于()Sx,或称()nux在Ｄ上一致收敛。由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和数列来确定,所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义。定义3[1]设函数项级数()nux在Ｄ上和函数为()Sx,称()()()nnRxSxSx,为函数项()nux的余项。2.函数项级数一致收敛性的基本判别法2.1M判别法定理21(M判别法)设函数项级数()nux定义在数集Ｄ上,nM为收敛的正项级数,若对一切xD,有|()|nnuxM,1,2,n,则函数项级数()nux在Ｄ上一致收敛。证明：由假设正项级数nM收敛,根据数项级数的柯西准则,任给正数,存在某正整数N,使得当nN及任何正整数p,有11...nnpnnpMMMM,所以对一切xD有12121|()()()||()||()||()|nnnpnnnpnnpuxuxuxuxuxuxMM河南师范大学新联学院本科毕业论文4根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数()nux在Ｄ上一致收敛。例1证明函数项级数5211nnxnx，,x一致收敛。证明：由不等式552212nxnx可知对任意x,有3522112nxnxn。因31212nn收敛，由M-判别法知5211nnxnx在,上一致收敛。2.2莱布尼茨判别法定理2[1]若交错级数1110nnnuuuuuu，n=1,2,满足下述两个条件：1数列nu单调递减；2lim0nnu，则交错级数收敛。例2试证31(1)nnnx在区间,ab上一致收敛。证明：31nx｛｝是任意闭区间,ab的连续函数列,且,xab有10()()nnuxux,lim()0nnux,由上述定理知,函数项级数31(1)nnnx在区间,ab上一致收敛。2.3定义判别法例3讨论n22S,1xxnx在上一致收敛性。解：显然S0,,,xx因为2222211S1212nxnxxSxnxnnxn所以，对任给的0,只要取1,2NnN当时，1S2nxSxn对一切,x成立，因此nSx在,上一致收敛于0Sx。2.4余项判别法定理33函数项级数()nux在数集D上一致收敛于()Sx的充要条件是limsup|()|limsup|()()|0nnnnxDxDRxSxSx。证明()已知函数项级数1()nnux在区间D一致收敛于()Sx,河南师范大学新联学院本科毕业论文50,,,NNnNxD有|()()|nSxSx,从而sup|()()|nxDSxSx,即limsup|()()|0nnxDSxSx,()已知limsup|()()|0nnxDSxSx,即0,,,NNnNxD有sup|()()|nxDSxSx,所以xD有|()()|nSxSx.即级数1()nnux在区间D上一致收敛于Sx。例4讨论函数项级数211,0,1nnxxx的一致收敛性。解：设22211111111nnnkknkkxxxSxxxxxxx11nxxx1nxnN。因而，lim0,1nnSxSxx，11nnSxSxxx。解11120nnxxxnnx，得12nxn。易知，该点为函数110,1nxx在上的最大值点。于是：10,111sup122nnxnnSxSxnn11102111nnnn故原级数在0,1上一致收敛。推论41{()}nSx是函数项级数()nux的部分和函数列,和函数)(xS,都是定义在同一数集Ｄ上,对于任意的n,存在数列{}na(0)na,使得对Dx,河南师范大学新联学院本科毕业论文6有|()||()()|nnnRxSxSxa,且0limnna,则称函数列{()}nSx一致收敛于)(xS,即函数项级数()nux在Ｄ上一致收敛于函数)(xS。证明：因0limnna,故对任给的0,NN(与x无关),使得当Nn时,对一切Dx,都有|()||()()|nnnRxSxSxa。由定义2得函数列{()}nSx一致收敛于)(xS,即函数项级数()nux在Ｄ上一致收敛于)(xS。注用放大法判定函数项级数()nux一致收敛性时,需要知道)(xS。2.5柯西准则定理54(一致收敛的cauchy准则)函数项级数()nux在数集Ｄ上一致收敛的充要条件为：任给0。存在NN，当nN时,对一切pN及一切xD，都有12()()()nnnpuxuxux成立。证明：(必要性)设()nux在Ｄ上一致收敛,于是有n()(),DSxSx根据定义,对任意的