函数项级数的一致收敛判别论文

Ⅰ摘要函数项级数是数学分析中的一个重要的概念,在工程技术领域也有着重要应用.关于函数项级数的问题往往是数学分析的重点,又是难点,不易理解和掌握而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性,但是一致收敛的判别往往比较困难,我们的教材中对于函数项级数)(1xunn的收敛判别给出了一些基本方法,然而这些方法却只能解决一些常见的问题,对于很多其它类型的函数项级数,我们需要寻求其它更为方便的方法。例如,我们可以把正项级数的达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法和它们的极限形式顺利地推广到函数项级数的一致收敛的判别上,此外,还有很多种不常见的判别函数项级数一致收敛的方法,它们在处理某些类型函数项级数一致收敛判别问题上有着很重要的应用。本文旨在对上述函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结和探究,为今后在处理函数项级数一致收敛性的判别提供理论基础。关键词：函数项级数、一致收敛、函数列、部分和数列ⅡAbstractThefunctionseriesisanimportantconceptinmathematicalanalysis,alsohasitsimportingapplicationinengineeringfield.Thefunctionofseriesproblemsareoftenthefocusofmathematicalanalysis,itisdifficult,difficulttounderstandandmasterandoneofthebasicproblemsinfunctionseriesistostudytheconvergenceproblems,butconsistentconvergenceisoftendifficult,ourtextbooksfortheconvergenceoffunctionalseriesdiscriminategivessomebasicmethodsincommonuse,howeverthesemethodscanonlysolvesomecommonproblems,forseriesoffunctionofmanyothertypes,weneedtofindothermoreconvenientmethod.Forexample,wecanputthepositivetermseriesbyDarrenBellmethod,Cauchymethod,Abediscriminatemethodandtheirlimitingformssmoothlytodiscriminantofuniformconvergenceoffunctionalseriesof.Inaddition,therearemanynotoftenthediscriminantfunctionseriesconvergencemethod,inwhichtheysometypeofuniformconvergencethefunctionseriesproblemsofdiscriminanthasaveryimportantapplication.Thispaperaimstomakeacomprehensivesummaryandresearchmethodtodistinguishthefunctionseriesconvergence,forthefutureintheprocessingfunctionofdistinguishinguniformconvergenceofseriesandprovideatheoreticalbasis.Keywords:functionseries,uniformconvergence,function,partialsumsⅢ目录第1章引言.....................................................................................................1第2章预备知识...............................................................................................22.1函数列及其一致收敛性....................................................................................................22.2函数项级数及其一致收敛性的定义...............................................................................2第3章函数项级数一致收敛的判定方法............................................................43.1常用判别方法.................................................................................................................43.1.1定义法..................................................................................................................43.1.2阿贝尔判别法....................................................................................................53.1.3余项判别法........................................................................................................53.1.4狄利克雷判别法.................................................................................................63.1.5比式判别法........................................................................................................63.1.6根式判别法........................................................................................................73.1.7对数判别法........................................................................................................73.1.8端点判别法........................................................................................................83.2其它判别方法.................................................................................................................93.2.1两边夹判别法....................................................................................................93.2.2单调判别法.......................................................................................................93.2.3一致L条件判别法..........................................................................................103.2.4导数判别法......................................................................................................113.2.5点列判别法.....................................................................................................12结束语.................................................................................................................14致谢....................................................................................................................15参考文献.............................................................................................................16黄冈师范学院本科学位论文[第1页,共17页]第1章引言函数项级数一致收敛的理论是数学分析的重要组成部分之一,也是学好后继课程,如泛函分析、偏微分方程等的必备基础.同时,函数项级数一致收敛是数学分析教学中的难点之一,数学分析中的积分运算与其它运算的可交换性,我们需要讨论它的一致收敛性作为保证.目前,已有许多文献对函数项级数一致收敛进行了研究,如文献[1]中介绍了函数列、函数项级数一致收敛的概念,并介绍了判别函数列、函数项级数一致收敛的充要条件；文献[2]对一致收敛分别从定义、充要条件、一般性质、判别方法等方面做了讨论；文献[3]给出了判别函数项级数一致收敛的新方法,这种方法与Dini定理的区别在于：Dini定理是数列单调,而作者所给的是函数单调.文献[4]介绍了函数项级数中的Dini定理.文献[5]则是对函数项级数的导数所需满足怎样的条件才能使级数一致收敛进行探讨,从而得到了函数项级数一致收敛的导数判别法.虽然已有诸多文献对如何判断函数项级数一致收敛性进行了研究,但多数都有其局限性.本文试图从函数列、函数项级数一致收敛的判别方法进行探索,在文献[2]中未给出证明的定理,本文也将给出简单的证明.本文准备从三个阶段对其展开阐述：首先是简单阐述函数列、函数项级数的定义以及一致收敛的概念.其次，分别列出常用的判别函数项级数一致收敛的方法及其应用.最后是本文的主要内容,是在常用的判别函数项级数一致收敛的方法上推出一些定理.先介绍两边夹判别法,然后介绍比较判别法,对魏尔斯特拉斯M判别法的条件进行改变得到一种新的比较判别法；探讨在级数的和函数单调条件下,推出函数项级数的Dini定理；利用L条件,给出函数项级数一致L条件的定义,研究满足一致L条件的函数项级数的一致收敛性；探讨在)}({xun可微条件下,当)(,1xunn在],[ba上的一致收敛时,函数项级数)(1xunn的一致收敛性；把函数项级数所在点集归结为点列来探讨函数项级数的一致收敛性.函数