小波变换原理与应用

1小波变换原理与应用WaveletTransformTheoryandEngineeringApplication数学中的显微镜小波2讲座的目的了解信号的信息表示方法了解小波变换的基本原理掌握小波变换的三种类型了解小波塔式分解与重构了解小波变换的时频特性了解小波变换的工程应用小波分析深圳大学信息工程学院3主要内容小波的基本概念——什么是小波小波的发展历史——工程到数学小波的基本类型——多分辨分析小波的快速算法——Mallat算法小波包分解算法——精细化处理小波的工程应用——时频分析与降噪小波的结合应用——小波网络等小波分析深圳大学信息工程学院4小波的基本概念——什么是小波小波是什么？小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。5小波的基本概念——什么是小波小波的“容许”条件用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足)()(xdC2)(0)()0(dxx6小波的基本概念——什么是小波信号的信息表示时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法7小波的基本概念——什么是小波平稳信号非平稳信号不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号),,,;,,,(),,,;,,,(21212121nnnntttxxxftttxxxf)(),()()(),()()(2122121txEttRtxtxEttRmdxxxftxExxx8小波的基本概念——什么是小波信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义00.511.52-1-0.500.51信号x(t)的时域波形时间t/s幅度A0102030405000.10.20.30.40.5信号x(t)的单边频谱频率f/Hz|Y(f)|9小波的基本概念——什么是小波时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析10小波的基本概念——什么是小波为什么选择小波小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势11小波的基本概念——什么是小波时间幅度小波变换时间尺度12小波的基本概念——什么是小波13小波的发展历史——工程到数学1807:JosephFourier——FT，只有频率分辨率而没有时间分辨率1909:AlfredHaar——发现了Haar小波1945:Gabor——STFT1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）14小波的发展历史——工程到数学1988：InridDaubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等15小波的基本类型——多分辨分析关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波变换连续小波变换定义为可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数RbabadtttxttxbaCWTf)()()(),(),(*,,dtabtatxdtttxttxbaCWTfRRbaba)()()()()(),(),(21,,16小波的基本类型——多分辨分析FT信号连续正弦波或余弦波CWT信号不同尺度和平移因子的小波傅立叶分解过程小波分解过程17小波的基本类型——多分辨分析伸缩因子对小波的作用02468-101sin(t)---a=102468-101sin(2t)---a=1/2幅度A02468-101sin(4t)---a=1/4时间t-10-50510-101morlet---a=1-10-50510-101morlet---a=1/2-10-50510-101morlet---a=1/418小波的基本类型——多分辨分析平移因子对小波的作用平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近19小波的基本类型——多分辨分析连续小波变换实现过程首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较；通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析；增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。20小波的基本类型——多分辨分析21小波的基本类型——多分辨分析小波逆变换如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的dtdaatbaCWTfCtxba02,1)(),(1)(dtdaaabtabaCWTfC22101)(),(122小波的基本类型——多分辨分析连续小波变换的性质叠加性（线性）时移不变性尺度特性微分特性内积定理能量守恒特性冗余性23小波的基本类型——多分辨分析离散小波变换DWT（discretewavelettransform，DWT）定义对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值（要求采样率满足尼奎斯特采样定理）123456skT1234562lnjRmmnmdtnttxttxnmDWTx)2()(2)(),(),(2,24小波的基本类型——多分辨分析离散小波变换的可逆问题——框架理论DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条件，那么DWT就是可逆的RBAtxBttxtxAnmnm,)()(),()(22,,2ZnnmnmtCtx)()(,,25小波的基本类型——多分辨分析正交小波变换与多分辨分析多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。26小波的基本类型——多分辨分析正交小波变换与多分辨分析对于小波基函数为，如果函数族构成内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非常适合做数据压缩。Zkjkttjjkj,)()(/,222)(t)(2RL27小波的基本类型——多分辨分析典型的正交小波——Haar小波00.51-1.5-1-0.500.511.5Haar小波时间t幅度A-10000100000.20.40.60.8Haar小波频谱频率f/Hz幅度A其他121210011)(ttth28小波的基本类型——多分辨分析典型的正交小波——Meyer小波其他3834343201432cos211232sin21)(22jjee-505-0.200.20.40.60.81尺度函数时间t幅度A-505-0.500.51小波函数时间t幅度A29小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的讨论中，可以看到正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分，称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法30小波的快速算法——Mallat算法滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换的Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出的两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，称为简单记为cA和cD，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。31小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采样SDAHigh-passLow-pass1000个采样点1000个采样点1000个采样点ScDcAHigh-passLow-pass1000个采样点500个采样点500个采样点32小波的快速算法——Mallat算法小波分解树ScD1cA1cA2cD2cA3cD333小波的快速算法——Mallat算法到此我们已经知道离散小波变换是怎么样分析或者怎样来分解一个信号，这个过程通常也称为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换（InverseDiscreteWaveletTransform，简称：IDWT）。在离散小波变换或小波分解的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波。过采样是通过在相邻采样点之间插入零值的来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要重构信号一致的采样数据长度。34小波的快速算法——Mallat算法1234512345678910SScDcAcDcAHLH’L’35小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重构示意图0c1c3c2c1ncncHHHH1d2d3dn