高数：曲线积分与曲面积分总结

（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系第十一章：小结（三）各种积分的计算方法（一）曲线积分与曲面积分曲线积分曲面积分第一型曲面积分（对面积）第二型曲面积分（对坐标）第一型曲线积分（对弧长）第二型曲线积分（对坐标)计算计算联系联系曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算dtyxtytxfdsyxfttL22)](),([),(三个代换)(dtytytxQxtytxPQdyPdxttL)](),([)](),([[二代一定(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10联系RdxdyQdzdxPdydz计算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号(与侧有关)dSRQP)coscoscos(dSzyxf),,(xyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[（二）各种积分之间的联系定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Stokes公式Guass公式点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii.)()(,],[1badxxfdMfbaR时上区间当.),()(,2DdyxfdMfDR时上区域当积分概念的联系定积分二重积分dVzyxfdMfR),,()(,3时上区域当.),,()(,3dszyxfdMfR时上空间曲线当.),,()(,3dSzyxfdMfR时上曲面当曲面积分曲线积分三重积分.),()(,2LdsyxfdMfLR时上平面曲线当曲线积分计算上的联系)(,d),(d),()()(21面元素dyyxfxdyxfbaxyxyD)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxzbaLdsdxyxyxfdsyxf))((,1)](,[),(2曲线元素baLdxdxxyxfdxyxf))((,)](,[),(投影线元素xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221)],(,,[),,(其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲面元素dS))(dd,dd,dd(曲面元素投影平面元素yxxzzy.,,,,xyzxyzDDDxoyxozyozΣ面投影，得区域向把曲面.),,(),,(),,(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPzxxyyzDDDdxdyyxzyxRdzdxzxzyxQdydzzyzyxP)],(,,[]),,(,[],),,([理论上的联系1.定积分与不定积分的联系))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD格林公式3.三重积分与曲面积分的联系RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式（三）二型积分计算,),(,),(),(,),(),,(BLALyxMttytxLLyxQyxP运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设参数法：(,)(,)[(),()]()[(),()]()}LPxydxQxydyPtttQtttdt1.二型曲线积分计算设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有()LDQPPdxQdydxdyxy其中L是D的取正向的边界曲线,公式称为格林公式.格林格林公式：题等价：内连续，则下述四个命一阶偏导数在及其是平面单连通区域，设定理DyxQyxPD),(),,(2.),(,)4(DyxyPxQ;),(,),(3DyxQdyPdxduyxu使得存在二阶连续可导函数）（内与积分路径无关；在DQdyPdxL)2(;0,1LQdyPdxLD内任意一条闭路径对）（积分与路径无关：定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,Γ的正向与Σ的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯斯托克斯(stokes)公式（*）：1．设积分曲面Σ是由方程),(yxzz所给出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域为xyD,函数),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数,被积函数),,(zyxR在Σ上连续.),(yxfzxyDxyzon.,.,,,,重积分化为三个坐标面上的二进行三个代换面投影，得区域向把曲面xyzxyzDDDxoyxozyozΣ2.二型曲线积分计算投影法dSzyxRcos),,(xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(},1,,{yxzzn,0cos取上侧，若Σ公式得由第一类曲面积分计算dxdyzyxR),,(积分进行三个代换化为二重注：“一投,二代,三定号”xyDxoyΣ)1(面投影，得区域向把曲面.),()2(代入被积函数的方程把曲面yxfzΣ.)3(符号取正号dxdyzzdSzzyxyx22221,11cos,0cos,取下侧若xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR)],(,,[),,(则有给出由如果,),(.2zyxxyzDdydzzyzyxPdydzzyxP],),,([),,(则有给出由如果,),(.3xzyyzxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ]),,(,[),,(注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.注：“一投,二代,三定号”xyDxoyΣ面投影，得区域向把曲面yzDyozΣ面投影，得区域向把曲面xzDxozΣ面投影，得区域向把曲面(2)若投影域面积是零，则积分值是零。.0,Pdxdyz则轴的柱面是母线平行于若).10,0,0(,1:);10(,1:,)1(2221zyxyxzyxdxdyyxI例如积分.0,021xyzOn12.cos,cos,cosdSdxdydSdzdxdSdydzxyOdSzdSαdydzcosdSγdxdycos(,,)(,,)(,,).PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdydSdxdzcos.cos,coscos,cosdSdxdydSdzdxdSdydz),,(yxzzΣ方程：设曲面ΣyxzyxRyxzyxQyxzyxPdd),,(ddcoscos),,(ddcoscos),,((三合一投影法）(,,)dd(,,)dd(,,)ddxyΣPxyzzxyQxyzzxyRxyzxy则上连续在及其一阶偏导数曲面为光滑或者分片光滑闭其边界曲面设空间有界闭区域高斯定理定理,,,),,(),,,(),,,(,,:)(1zRyQxPzyxRzyxQzyxPΣ)1()(ΣRdxdyQdzdxPdydzdVzRyQxP.取外侧位正向其中Σ高斯公式：