搜索
第1课时二次函数与一元二次方程目标突破总结反思第5章二次函数知识目标5.4二次函数与一元二次方程知识目标1．类比一次函数与一元一次方程的关系，结合图像理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根之间的密切联系．2．根据方程与函数间的关系，能通过一元二次方程根的判别式判断二次函数的图像与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴的交点个数确定参数的取值范围．5.4二次函数与一元二次方程3．通过掌握二次函数与一元二次不等式的关系，能结合二次函数的图像解一元二次不等式．目标突破目标一理解二次函数与一元二次方程的关系例1[教材补充例题]在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x－3的图像．(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是什么？(2)当x取何值时y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有何关系？(3)你能从中得到什么启示？5.4二次函数与一元二次方程解：二次函数y＝x2－2x－3的图像如图．(1)二次函数图像与x轴的交点坐标是(－1，0)，(3，0)．(2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的取值是方程x2－2x－3＝0的两个根．(3)二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根；一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根就是二次函数y＝x2－2x－3的图像与x轴交点的横坐标．5.4二次函数与一元二次方程【归纳总结】(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标，实质是求关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根．(2)由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2，可知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．5.4二次函数与一元二次方程目标二掌握抛物线与x轴的交点情况和一元二次方程的根的关系例2[教材补充例题]已知抛物线y＝x2＋4kx＋4k2－3k.(1)当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点？(2)当k为何值时，抛物线与x轴无交点？【解析】根据二次函数与一元二次方程的关系，将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式问题，列出不等式解答．5.4二次函数与一元二次方程解：(1)∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)＞0，解得k＞0.故当k＞0时，抛物线与x轴有两个交点．(2)∵抛物线与x轴无交点，∴b2－4ac＜0，∴(4k)2－4×(4k2－3k)＜0，解得k＜0.故当k＜0时，抛物线与x轴没有交点．5.4二次函数与一元二次方程【归纳总结】二次函数的图像与x轴的交点个数与一元二次方程根的情况之间的关系判别式b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0方程ax2＋bx＋c＝0根的情况有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数有两个交点有一个交点没有交点5.4二次函数与一元二次方程目标三二次函数与不等式的关系例3[教材补充例题]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像如图5－4－1所示，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是()图5－4－1A．x＜－4或x＞2B．－4≤x≤2C．x≤－4或x≥2D．－4＜x＜2D5.4二次函数与一元二次方程【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图像与x轴的交点坐标分别是(－4，0)和(2，0)，抛物线开口向下，∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是－4＜x＜2.故选D.5.4二次函数与一元二次方程总结反思知识点一二次函数与一元二次方程的关系小结一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，即x＝____________，反之亦成立．x1或x25.4二次函数与一元二次方程知识点二抛物线与x轴的公共点个数同一元二次方程根的情况之间的关系详见例2[归纳总结]．[注意]抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．5.4二次函数与一元二次方程知识点三二次函数与一元二次不等式的关系设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，且x1x2.当a0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为xx1或xx2；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为x1xx2.当a0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为x1xx2；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为xx1或xx2.5.4二次函数与一元二次方程反思已知抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，求m的取值范围．小明的解法如下：∵抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，∴b2－4ac＝22－4(m－1)＝8－4m＞0，解得m＜2.小明的解答过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并写出正确的解答过程．5.4二次函数与一元二次方程解：小明的解答过程不正确．错误的原因：根据抛物线与x轴有交点，得到的结论应该是b2－4ac≥0，而不是b2－4ac＞0.正确的解答过程如下：∵抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，∴b2－4ac＝22－4(m－1)＝8－4m≥0，解得m≤2.5.4二次函数与一元二次方程