重大通信学院

1重大通信学院•何伟第二章逻辑函数主要内容2.1逻辑函数2.2逻辑函数的简化2重大通信学院•何伟2.1逻辑函数逻辑代数（LogicAlgebra）是由英国数学家乔治·布尔(GeorgeBoole)于1849年首先提出的，因此也称为布尔代数（BooleanAlgebra）。逻辑代数研究逻辑变量间的相互关系，是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。所谓逻辑变量，是指只有两种取值的变量:真或假、高或低、1或0。3重大通信学院•何伟2.1.1基本逻辑逻辑变量之间的关系多种多样，有简单的也有复杂的，最基本的逻辑关系有:逻辑与、逻辑或和逻辑非三种。1.逻辑与只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，这样的逻辑关系称为逻辑与，或称逻辑相乘。2.1逻辑函数4重大通信学院•何伟在如图电路中，只有当开关S1和S2同时接通时，电灯F才会亮。若以S1、S2表示两个开关的状态，以F表示电灯的状态，用1表示开关接通和电灯亮，用0表示开关断开和电灯灭，则只有当S1和S2同时为1时，F才为1，F与S1和S2之间是一种与的逻辑关系。逻辑与运算的运算符为“·”，写成F=S1·Ｓ2或F=S1S2。逻辑变量之间取值的对应关系可用一张表来表示，这种表叫做逻辑真值表,简称真值表。与逻辑关系的真值表如表所示。S1S2F与逻辑电路S1S2F000110110001与逻辑的真值表2.1逻辑函数5重大通信学院•何伟2.逻辑或在决定某事件的诸多条件中，当有一个或一个以上具备时，该事件都会发生，这样的逻辑关系称为逻辑或，或称逻辑相加。在如图电路中，当开关S1和S2中有一个接通（S1=1或S2=1）或一个以上接通（S1=1且S2=1）时，电灯F都会亮（F=1），因此F与S1和S2之间是一种或的逻辑关系。逻辑或运算的运算符为“+”，写成F=S1+S2。或逻辑关系的真值表如表所示。或逻辑电路FS1S2或逻辑的真值表S1S2F0001101101112.1逻辑函数6重大通信学院•何伟3.逻辑非在只有一个条件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，这样的逻辑关系称为逻辑非，也称为逻辑反。在如图电路中，当开关S接通（S=1）时，电灯F不亮（F=0），而当开关S断开（S=0）时，电灯F亮（F=1）。因此，F与Ｓ之间是逻辑反的关系，写成F=。非逻辑关系的真值表如表所示。S非逻辑的真值表SF0110非逻辑电路SF2.1逻辑函数7重大通信学院•何伟4.其他常见逻辑运算除了与、或、非三种最基本的逻辑运算外，常见的复合逻辑运算有:与非、或非、异或、同或、与非与非、或非或非等，这些运算的表达式如下:与非表达式:或非表达式:异或表达式:同或表达式:与非与非表达式:或非或非表达式:FABFABFABABABFABABABFABCDFABCD以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。2.1逻辑函数8重大通信学院•何伟与非逻辑的真值表ABF0001101111102.1逻辑函数9重大通信学院•何伟或非逻辑的真值表ABF0001101110002.1逻辑函数10重大通信学院•何伟ABF000110110110异或逻辑的真值表2.1逻辑函数11重大通信学院•何伟ABF000110111001同或逻辑的真值表2.1逻辑函数12重大通信学院•何伟与非与非逻辑的真值表2.1逻辑函数13重大通信学院•何伟或非或非逻辑的真值表2.1逻辑函数14重大通信学院•何伟5门电路输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路，简称门电路。常用的门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等，它们的逻辑符号如图所示。&FAB与门F＝AB≥1FAB或门F＝A＋BFA非门F＝1A&FAB与非门F＝AB≥1FAB或非门F＝BA＋≥1FAB与或非门F＝CDAB＋&CD＝1FAB异或门F＝BA＝FAB同或门F＝A⊙B常用门电路的逻辑符号2.1逻辑函数15重大通信学院•何伟1.逻辑函数定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。∵输入逻辑变量A、B、C输出运算结果Y∴Y~A、B、C，记为Y=F(A,B,C）如果A、B、C和Y只取0、1两个值，则叫二值逻辑函数。例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。A和B分别是楼下、楼上的两个单刀双掷开关，P为楼道灯，任何时候均可在楼下或楼上开关楼道灯。若用1表示开关掷上，用0表示开关掷下，用1表示灯亮，用0表示灯灭，则灯P是开关A，B，C的二值逻辑函数，即：P=F（A、B）2.1.3逻辑函数及其表示方法2.1逻辑函数16重大通信学院•何伟2.逻辑函数的表示方法逻辑函数常用的描述方法有函数式、真值表、卡诺图和逻辑图等。1).函数式由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑函数式。常用的逻辑函数式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。2.1逻辑函数17重大通信学院•何伟与或表达式:标准与或表达式:或与表达式:标准或与表达式:与非与非表达式:或非或非表达式:与或非表达式:FABACDFABCDABCDABCDF(AB)(ACD)F(ABCD)(ABCD)(ABCD)FABCDFABCDFABCD2.1逻辑函数18重大通信学院•何伟2).真值表用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则，输出F为0。可列出下表所示的真值表。2.1逻辑函数19重大通信学院•何伟判奇电路的真值表ABCF000001010011100101110111011010012.1逻辑函数20重大通信学院•何伟3).卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。卡诺图分变量卡诺图和函数卡诺图两种。在变量卡诺图的所有方格中，没有相应的函数值，而在函数的卡诺图中，每个方格上都有相应的函数值。2.1逻辑函数21重大通信学院•何伟如图为二～五个变量的卡诺图，方格中的数字为该方格对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。0123AB0101(a)0123ABC000101(b)457611100123ABCD00010001(c)457611101112131514108911100123ABCDE0000010001(d)457601101011121315141089111024252627282931302021232216171918110111101100(a)两变量;(b)三变量;(c)四变量;(d)五变量2.1逻辑函数22重大通信学院•何伟一个四变量函数的卡诺图0110ABCD0001000111101110110001100110如图为一个四变量函数的卡诺图，方格中的0和1表示在对应变量取值组合下该函数的取值。2.1逻辑函数23重大通信学院•何伟4).逻辑图由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。如图为函数FABA(BC)(CD)的逻辑图。≥1&F&≥111＝1DCAB函数F的逻辑图2.1逻辑函数24重大通信学院•何伟2.1.4逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式1.逻辑函数相等定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量F和G的值都相同，则称F和G是等值的，即F=G。由定义可知：F和G的真值表相同F=G例2-2(P20)2.1逻辑函数2．逻辑函数基本公式25重大通信学院•何伟(1)000(2)010(3)111(4)00(5)0(6)1(7)0(8)(9)(10)()()(11)()(12)(13)AAAAAAAAAABBAABCABCABCABACABABAA(1)000(2)010(3)111(4)10(5)0(6)1(7)0(8)(9)(10)()()(11)()()(12)AAAAAAAAAABBAABCABCABCABACABAB2.1逻辑函数26重大通信学院•何伟式(8)、(8′)称为同一律；式(9)、(9′)称为交换律；式(10)、(10′)称为结合律；式(11)、(11′)称为分配律；式(12)、(12′)称为德·摩根(De·Morgan)定律；式(13)称为还原律。2.1逻辑函数27重大通信学院•何伟2.1.5三个定理1.代入规则在一个逻辑等式两边出现某个变量（或表示式）的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式仍然成立。例如:已知，在等式两边出现B的所有位置都代入BC，则等式仍然成立，即AB=A+BA(BC)=A+(BC)=A+B+C2.1逻辑函数28重大通信学院•何伟2.反演规则对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数F的反函数。使用反演规则时，要注意以下两点:保持原函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。F例如:则ZABACDZ(AB)ACD2.1逻辑函数29重大通信学院•何伟3.对偶规则对一个逻辑函数F进行如下变换:将所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到函数F的对偶函数F′。例如:F1=A·(B+C)，F1′=A+B·CF2=A·B+A·C，F2′=(A+B)·(A+C)如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。这就是对偶规则。:已知A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)2.1逻辑函数30重大通信学院•何伟2.1.6常用公式下面列出一些常用的逻辑函数公式，利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明。（1）A+A·B=A证明:A+A·B=A·1+A·B=A·(1+B)=A·1=A公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。这一公式称为吸收律。例如:2.1逻辑函数31重大通信学院•何伟(AB)(AB)CDAB（2）AABABAAB(AA)(AB)1(AB)AB证明:2.1逻辑函数32重大通信学院•何伟公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。例如:A+B+(AB)C=A+B+A+BC=A+B+C2.1逻辑函数33重大通信学院•何伟（3）证明:AB+AC=AB+AC+BCAB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(AC+ACB)=AB+AC公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。例如:2.1逻辑函数34重大通信学院•何伟ABC+(A+B)D+CD=(AB)C+(AB)D+CD=(AB)C+(AB)D=ABC+(A+B)D2.1逻辑函数35重大通信学院•何伟（4）证明:AB+AC=AB+AC+BCDAB+AC+BCD=(AB+AC)+BCD=AB+AC+BC+BCD=AB+AC+(BC+BCD)=AB+AC+BC=AB+AC2.1逻辑函数36重大通信学院•何伟公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是可要可不要的。例如:ABC+(A+B)D+CDE+FG=ABC+(A+B)D