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第三节:简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学科网1一、简单的逻辑联结词1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作．2．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，得到一个新命题，记作，读作．3．一般地，对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p，读作．4．命题p∧q，p∨q，p的真假判断(真值表)p∧qp且qp∨qp或q“非p”或“p的否定”学科网pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真二、全称量词和存在量词1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示．存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．2．含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．3．含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)学科网四、全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对“或”“且”“非”的理解1)“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A，且x∉B”，也可以是“x∉A，且x∈B”，也可以是“x∈A，且x∈B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的．(2)对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”是指“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B.(3)对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集∁UP.对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定．学科网1．下列命题中是含有全称量词的命题并且是真命题的是()A．所有菱形的四条边都相等B．∃x∈N*,2x为偶数C．若对∀x∈R，则x2＋2x＋10D．π是无理数解析：选项A中含有全称量词，该命题正确．答案：A2．(文)对命题“∃x∈R，x2－2x＋40”的否定正确的是()A．∃x∈R，x2－2x＋40B．∀x∈R，x2－2x＋40C．∀x∈R，x2－2x＋4≥0D．∀x∈R，x2－2x＋4≤0解析：特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题．∀x∈M，p(x)．故所给命题的否定是：∀x∈R，x2－2x＋4≤0.答案：D(理)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(p)∨qB．p∧qC．(p)∧(q)D．(p)∨(q)解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有p)∨(q)为真命题．答案：D学科网3．(教材改编题)在一次投篮练习中，某同学连续投篮两次．设命题p是“第一次投中”，q是“第二次投中”，用逻辑联结词表示命题：“两次都投中”为______________．解析：“两次都投中”，即p发生，q发生，可表示为p∧q.答案：p∧q4．若“x∈[2,5]或x∈{x|x1，或x4}”是假命题，则x的取值范围是________．解析：由题意：p：x∈[2,5]，q：x∈{x|x1，或x4}，“p∨q”是假命题，则綈(p∨q)＝(p)∧(q)为真命题，即x∉[2,5]，且x∉{x|x1，或x4}是真命题．得1≤x2.答案：[1,2)学科网含有逻辑联结词的命题真假判定A．②③B．②④C．③④D．①②③【思路点拨】判断命题p、q的真假，是正确解题的基础．【解析】∵sinx＝1，∴命题p是假命题；∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋0恒成立，∴命题q是真命题，从而可知，②④成立．【答案】B【变式探究】1.已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1；命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧q”是假命题；③命题“p∨q”是真命题；④命题“p∨q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：∵命题p是真命题，q也是真命题，再由命题“p∧q”，“p∨q”，“p”真假的判定易知，①、②、③、④都正确．答案：D方法技巧：“p∧q”，“p∨q”，“p”形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题p、q的真假；（3）根据真值表确定“p∨q”，“p∧q”，“p”形式命题的真假.全称命题和特称命题的真假判断【例2】判断下列命题的真假：【思路点拨】判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找（1）（3）为全称命题，（2）（4）为特称命题，其中（4）隐含了存在量词“至少有一个”.(4)f(x)的零点，即是方程f(x)＝0的实根，由f(x)＝0，得lnx＝2－x.在同一直角坐标系中，分别作出y＝lnx，y＝2－x的图象知，它们有一个公共点，所以f(x)有一个零点．故(4)为真命题．【变式探究】2.判断下列命题是否是全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的二次函数都有零点；(4)存在实数x，使得＝1.解：(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1.是一个假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l存在斜率，是一个假命题(因为当直线垂直于x轴时，直线的斜率不存在)．(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀二次函数f(x)，函数f(x)有零点．是一个假命题．(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x∈R，＝1，是一个真命题，如当x0＝0，或x0＝1时成立．方法技巧：短语“所有”、“任意”、“凡是”、“每一个”等在陈述句中都表示事物的全体，这些词语都可以理解为全称量词；短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”等在陈述句中都表示事物的个体或部分，可以理解为存在量词.2.x∈M,p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素验证p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0p(x0)不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.3.要判定一个特称命题是真命题，只要在给定集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.全称（或特称）命题的否定【例3】写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假.（1）对任意的a0，函数f(x)=ax+b是R（2）有a∈R，使得a2+2a+2≤0;（3）至少有一个实数x0，使x03+1=0（4）所有的正方形都是矩形.【思路点拨】首先明确所给命题所含量词，看是全称命题还是特称命题，然后将其否定，并判断真假.【解】（1）全称命题，p：存在实数a0，函数f(x)=ax+b不是R上的增函数，是假命题.（2）特称命题.p:a∈R,a2+2a+20，是真命题.（3）特称命题.p:x∈R,x3+1≠0，是假命题.（4）全称命题.p:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.3.写出下列命题的否定并判断真假.（1）p：所有末位数字是0的整数都能被5（2）q：对任意集合AA(3)r:存在一个三角形，它的内角和大于180°(4)t：某些梯形的对角线互相平分.解：（1）p:存在一个末位数字是0的整数不能被5整除，是假命题.（2）q:存在一个集合AA的真子集，是真命题.（3）r：所有三角形的内角和都小于等于180°，是真命题.（4）t：每一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题.方法技巧：1.弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．2．全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．一般地，写一个命题的否定，往往需对正面叙述的词语进行否定．3．一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于(＝)大于()小于()是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定…否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定…4.p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.有关的参数问题【例4】已知命题命题若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.【思路点拨】已知命题p是全称命题，q为特称命题，若“p∧q”真命题，则p，q都为真命题，先分别求出使p，q为真的a的范围，再求其交集即可．【解】由“p且q”是真命题，可知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2恒成立．∵x∈[1,2]，∴a≤1.若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1，或a≤－2，综上，所求实数a的取值范围为a≤－2，或a＝1.【变式探究】4.已知两个命题r(x)：sinx＋cosxm；s(x)：x2＋mx＋10.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．解：∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≥－，∴当r(x)是真命题时，m－.又∵对∀x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋10恒成立，有Δ＝m2－40，∴－2m2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m－，同时m≤－2，或m≥2，即m≤－2当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－，且－2m2，即－≤m2.综上，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．方法技巧：对于含有逻辑联结词的命题，首先要确定构成命题的真假，求出此时参数成立的条件，其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件.注意：“p∧q”为假且“p∨q”为真，等价于p，q中一真一假.【例】(2009年辽宁卷)下列4个命题：其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4故p1为假；当【解析】根据指数函数与对数函数的图象易知，当x∈(0，＋∞)时，恒有故p2为真；【答案】D类型对某些正面词语的否定不正确致误【例】设命题p：“4的平方根一定是2”，则“非p”是________．【正解】4的平方根不一定是2【分析】命题“非p”是“4的平方根一定不是2”，还是“4的平方根不一定是2”呢？有些学生弄不清楚，认为是前者，事实上，由于命题p：“4的平方根一定是2”为假，则綈p命题为真，而“4的平方根一定不是2”为假，“4的平方根不一定是2”为真，即“一定”的否定是“不一定”，故应填“4的平方根不一定是2”．一、选择题1．已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则()A．p：∃x0∈R，cosx0≥1B．p：∀x∈R，cosx≥1C．p：∃x0∈R，cosx01D．p：∀x∈R，cosx1解析：∵全称命题的否定是特称命题，故綈p：∃x0∈R，cosx01.答案：C2．(文)(2010年广东汕头质量测评一)若命题“綈(p或q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q均为假命题C．p，q中至少有一个为真命题D．p，q中至多有一个为真命题解析：∵“(p∨q)”为假命题，∴p∨q为真命题，即p、q中至少有一个为真命题．答案：C(理)平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．∃λ0∈R，b＝λ0aD．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：a与b共线的充要条件是：当b≠0时，存在实数λ0，使a＝λ0b，从而a－λ0b＝0.答案：D3．对下列命题