福建省高考文科数学第二轮：专题二数列第二讲 数列求和及综合应用

专题三数列第二讲数列求和及综合应用考点整合求数列通项公式的常用方法(1)公式法：①等差数列na的通项公式：1(1)naand；②等比数列na的通项公式：11nnaaq（2）利用na与nS的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn（3）累加法：递推关系式为：1()nnaafn其中数列()fn可求和，则121321()()()nnnaaaaaaaa基础梳理(4)累积法：递推关系为：1()nnafna其中数列()fn可求积，则321121nnnaaaaaaaa（5）构造法：递推关系为：1nnapaq（其中,pq为非零常数）时，可构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解。考纲点击掌握基本的求和方法：等差、等比数列求和，一般数列的：错位相减法、倒序相加法、裂项求和法等．数列的求和问题基础梳理一、数列求和的基本方法1．公式法(1)等差数列前n项和公式：Sn＝________＝________.(2)等比数列前n项和公式：Sn＝q＝1＝q≠12．转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．3．错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．4．倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．5．裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．答案：11111()(1)(1)1na2na2211nnnnaaaaqaqnndqq　＋　　　　　整合训练1．(1)(2009年北京卷)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝______；前8项的和S8＝______.(用数字作答)(2)(2010年辽宁卷)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1,S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172答案：(1)16255(2)B考纲点击能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．数列的应用问题基础梳理二、数列的应用题1．应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．2．数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解．3．解应用问题的基本程序实际应用题明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系或空间位置关系分析、联想、转化、抽象再转译成具体应用问题的结论在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构成一个或几个数学模型来解解决数学问题建立数学模型整合训练2．(1)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分裂为2个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A．511个B．512个C．1023个D．1024个(2)(2010年江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.a2k答案：(1)B(2)21高分突破考向一:利用构造或转化法求通项公式【例1】(2011年南平市高中毕业班适应性考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n(n∈N*),(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)因为Sn=2an-n,令n=1,解得a1=1,再分别令n=2,n=3,解得a2=3,a3=7.(2)因为Sn=2an-n,所以Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*),两式相减得an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),所以an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),又因为a1+1=2,所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=2n,所以an=2n-1.考向二:利用an与Sn的关系求通项公式【例2】(2011年福建厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求{an}的通项公式;(2)令Tn=()nSn,问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解:(1)令n=1,由a1=2,nan+1=Sn+n(n+1)得a2=4,所以a2-a1=2.由于nan+1=Sn+n(n+1),所以当n≥2时,有(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减得nan+1-(n-1)an=an+2n,整理得nan+1-nan=2n,即an+1-an=2(n≥2),但当n=1时,a2-a1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,于是an=2+(n-1)×2=2n.(2)存在.由(1)得Sn=n(n+1),所以Tn=()nSn=()n(n2+n).故Tn+1=()n+1[(n+1)2+(n+1)],令Tn≤Tn+1得()n(n2+n)≤()n+1[(n+1)2+(n+1)],整理得n≤(n+2),所以n≤8,因此T1T2…T8=T9T10T11…,故存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm且m=8或m=9.举一反三21:(2011年莆田市高中毕业班适应性练习)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn满足Sn+1-Sn=2n+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)若S1、t(S3+S4)(t0)的等差中项不大于它们的等比中项,求t的值.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2(n-1)+1=2n-1,因为a1=1也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*);又因为an+1-an=2(n+1)-1-(2n-1)=2为定值,所以{an}为等差数列,考向三:利用错位相减法求和【例3】(2011年漳州市高中毕业班质检)已知等差数列{an}的公差d≠0,首项a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an·(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)依题意得=a1a9,即(1+2d)2=1+8d,∴d2=d,又d≠0,∴d=1.∴an=a1+(n-1)d=n(n∈N*).(2)∵bn=an·(n∈N*),且an=n,∴bn=n·2n.∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,①∴2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n·2n+1,②由①-②得,-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1∴Tn=(n-1)·2n+1+2.一般地,如果某数列是等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘得到的数列{anbn},常用错位相减法求该数列的前n项的和.如求和Sn=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,注意到数列{n·2n}是由一等差数列和一等比数列的积构成,可用错位相减法求其前n项的和.用错位相减法求和时,一定要“错位对齐相减”,避免出错.考向四:利用裂项相消法求和【例4】(2011年山东烟台二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn(n∈N*).(1)解:由题意知,当n=1时,有a1=S1=-2;当n≥2时,裂项相消法求和是一种重要的求和方法,可用该方法求和的数列其通项公式以分式的形式居多,且其每一项都能化为两项之差,且中间一些项可以相互抵消.此时应注意:(1)通项公式是否恰好转化为两项之差,还是需要在其前面乘一个系数,(2)在最后裂项相消时,是不是对称相消、对称剩余.考向五:数列在实际问题中的应用【例4】(2011年福建省普通高中毕业班质量检查)国家“十二五”规划纲要把保障和改善民生作为出发点和落脚点.“十二五”时期将提高住房保障水平,使城镇保障性住房覆盖率达到20%左右.某城市2010年底有商品房a万套,保障性住房b万套(ba).预计2011年新增商品房r万套,以后每年商品房新增量是上一年新增量的2倍.问“十二五”时期(2011年~2015年)该城市保障性住房建设年均应增加多少万套才能使覆盖率达到20%?(保障性住房覆盖率=,a,b,r∈N*)解:设an,bn分别表示从2011年开始该城市第n年的新建商品房数和保障性住房数,并且平均每年应建设保障性住房为x万套.依题意得,an=2n-1r,bn=b+nx,1≤n≤5.设Sn为数列{an}的前n项和,故该城市保障性住房平均每年应建设(a+31r-4b)万套才能使覆盖率达到20%.求解数列应用题,必须明白属于哪种数列模型,是等差数列还是等比数列;是求通项问题还是求项数问题,或是求和问题等;题目中涉及哪几个量,这几个量之间存在什么关系等等.