8高等数学清华大学出版社ppt教程-4li

例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzxxyyxe)]sin([),cos()sin(yxeyxyexyxyyz),cos()sin(yxeyxxexyxyyxyyxe)]sin([8.4.1链式法则8.4多元复合函数的求导法则定理如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu可微，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvfxuufxz，yvvfyuufyz.链式法则链式法则如图示xzufxuvf,xvyzufyuvfyv'.,',21ffvfuf也可以记为公式中的zuvxy证),,(),(yxuyxxuu则),,(),(yxvyxxvv固定y,设x有改变量,x.)()(),(),(),(22vuvvfuufvufvvuufz从而.)(xxvvfxuufxz由于u,v关于x,y的偏导数存在，且.lim)(lim)(lim)(lim0220000xvxuxxxxxx所以，xvvfxuufxvvfxuufxzxzxxxlimlimlim000.yvvfyuufyz同理可证除定理中的复合函数情形外，我们还会遇到其他的复合关系，例如，1、,))(),((),(),()(),(dxdvvfdxduufdxdzxxxfzvuvufxxvxu可导，且有公式在可微，则复合函数在对应点可导，且函数在点设函数.称为全导数dxdzzxvu2、).(',),())(),,((),(),()(),(),(yvfyuufyzxuufxzyxyyxfzvuvufyyvyxyxyxu存在，且有公式的两个偏导数在点可微，则复合函数在对应点可导，且函数在点偏导数存在，的和关于在点若函数vzuyx.),),,((yfyuufyzyyxfz则特别地，若.yfyz此处.yuyufzyfyxyyxufzyz的偏导数常数时关于看作中把是在函数的偏导数，关于看作是常数时中把是复合函数),()),,((类似地再推广，如),(yxu、),(yxv、),(yxww都在点),(yx具有对x和y的偏导数，复合函数)],(),,(),,([yxwyxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xwwfxvvfxuufxz,ywwfyvvfyuufyz.xzwvuy.,),(),,(yfyuufyzxfxuufxzyx,yxuuyxufz的偏导数存在时，有关于可微，又如，zxyyxu.,yfyzxfxz上式中，例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeu例2设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttet例3设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuff同理有,2f,11f.22fxwxvvfxuuf;21fyzfzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf例4设,),(),,(22fxyyxxyfz具有连续偏导数，求dxdz.解))()(())()(('xxxfxxxfxvfxufdxdz222121),(),(xxyxvxxxyu2222例5设,),()(fyxyxyxfz2具有二阶连续偏导数，求yxz2.解)(2)()(yxxyxyfxyfxz222)(21)()(1)(yxyxxxyfxyxyfxxyfyxz22)(2)(yxyxxyxyf例6．设fyxfu),,(具有二阶连续偏导数，将下列表达式转换成极坐标sin,cosryrx下的形式：（1）22yuxu；（2）2222yuxu。解(1)rururyurxruxuxrruxurFyxfuxyyxrryrxsincos),,(),(.arctan,sin,cos222，有则由复合函数求导法则设.cossinruruyu同理可得.222221urruyuxu于是，rrurrururrururrururururxxuxrxurxu222222222222222sincossinsincossincossinsincoscossincos)(二阶偏导数，得应用复合函数求导法求rrurururruruyu22222222222222coscossincoscossinsin同理可得.222222222222111ururrrrurrurruyuxu两式相加，得设函数),(vufz具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz;当),(yxu、),(yxv时，有dvvzduuzdyyzdxxzdz.全微分形式不变性的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、8.4.2全微分形式不变性dxxvvzxuuzdyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzduuz.dvvz多元函数全微分运算法则（设u,v为多元可微函数，f为一元可微函数）：.)(')()(;)(;)()();()()(;)()(duufudfvudvvduvudvduudvuvdkkdukuddvduvud543212为常数例7已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe1、链式法则2、全微分形式不变性（理解其实质）小结一、填空题:1、设xyyxzcoscos,则xz________________；yz________________.2、设22)23ln(yyxxz,则xz_______________；yz________________.3、设32sinttez,则dtdz________________.二、设uvuez,而xyvyxu,22，求yzxz,.练习题三、设)arctan(xyz,而xey,求dxdz.四、设),,(22xyeyxfz(其具中f有一阶连续偏导数),求yzxz,.五、设)(xyzxyxfu,(其具中f有一阶连续偏导数),求.,,zuyuxu六、设),(yxxfz,(其具中f有二阶连续偏导数),求22222,,yzyxzxz.七、设,)(22yxfyz其中f为可导函数,验证:211yzyzyxzx.八、设,],),([其中yyxxz具有二阶导数,求.,2222yzxz一、1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos；2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx；3、.)43(1)41(3232ttt二、,])(22[222222yxxyeyyxyxyxxz)(22222])(22[yxxyeyxxyxyyz.练习题答案三、xxexxedxdz221)1(.四、.2,22121fxefyyzfyefxxzxyxy五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu六、,12222121122fyfyfxz,1)1(22221222fyfyfyxyxz.222422322fyxfyxyz八、,)1(121122xz222111221122)(yz.习题习题8.41、2（2）、（4）3、4（2）、（4）、5、6