第3章_时域瞬态响应分析_3.4时域分析性能指标

《控制工程基础》第3章时域瞬态响应分析3.4时域分析性能指标3.4.1时域性能指标的概念（1）动态过程与稳态过程在输入信号的作用下，控制系统的时间响应由动态过程与稳态过程两部分组成。动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，指时间响应从初始状态到最终状态的过程。稳态过程就是系统的最终状态，即时间趋于无穷大时的时间响应。（2）动态性能指标与稳态性能指标在单位阶跃输入信号的作用下，描述控制系统时间响应的指标，称为系统的性能指标。描述动态过程的指标，称为系统的动态性能指标。主要有：上升时间，峰值时间，调整时间，超调量，振荡次数等。描述稳态过程的指标，称为系统的稳态性能指标。主要有：稳态误差。①上升时间tr响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对于无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。②峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。③调整时间ts响应曲线到达并保持在允许误差范围内所需的时间。其中允许误差范围一般取稳态值的±2%或±5%。④延迟时间td响应曲线从0上升到稳态值的50%所需的时间。（3）评价系统快速性的性能指标①最大超调量Mp响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示：%100)()()(oopopxxtxM②振荡次数N在调整时间ts内，系统响应曲线的振荡次数。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。（4）评价系统平稳性的性能指标xo(t)0.95()oxess0trts1.05()oxtr:上升时间tp:峰值时间:()()()100()opopoxtx%%x超调量ts:调节时间ttpess:稳态误差1误差带Δ=5%超调量()ox3.4.2二阶欠阻尼系统时域性能指标计算22()1(cossin)11sin(),01nntoddtdxtettett221arctan1dn，二阶系统在欠阻尼时，在单位阶跃信号的作用下，其输出响应为：2nn2,11js系统极点为jdn0s2s1××n极点位置与阻尼角(1)上升时间tr响应曲线从零到第一次达到稳态值所经过时间。当t=tr时,()1orxt22111sinarctan1nrtrdet2100nrte21sinarctan0rdt0)sin(rdtKtrd)sin(11)(2tetxdton21arctanrdt221arctan1rdnt由此可见：当ζ一定时，ωn越大，则tr越小。tr与ωn成反比。当ωn一定时，ζ越大，则tr越大。drt得(2)峰值时间tp指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。令)sin(11)(2tetxdton得0|)(pttodttdx，当0)(0dttdx时，0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpntan)tan(ndpdtntpdjdn0s2s1××n极点位置与阻尼角21pdntpdtdpt21nd21nptddT2峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。当ζ一定时，ωn越大，则tp越小。tp与ωn成反比。当ωn一定时，ζ越大，则tp越大。得(3)最大超调量Mp将峰值时间tp代入输出xo(t)，得22222111(%)()()()11(1cossin)11100%ndnnpopoopdddpdMxtxxteeeedpt峰值时间100100%ppσσ得最大超调量Mp只与阻尼比ζ有关。ζ越大，则Mp越小，系统的输出的波动性越小，即输出的平稳性越好。一般系统的常用阻尼比的范围：ζ=0.4~0.8，Mp=25.4%~1.5%。%100%100)()()(21exxtxMoopopζ00.10.20.30.40.50.60.70.80.9110072.952.737.225.416.39.494.611.520.150表3.2不同阻尼比的最大超调量%pM(4)调整时间ts瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值%允许误差范围内的最小时间。即当t=ts时，)()()(oooxxtx通常由响应曲线的一对包络线近似计算。在整个瞬态响应过程中，xo(t)总是包络在这对曲线内，同时包络线对称于稳态分量。n2e11t-xo(t)t01T2T3Tnζω1Tn2e11t-)sin(11)(2tetxdton包络线：211tne1112snte包络线方程为：2()11nteht()()()()()()oooooxtxxhtxx代入有2(0.050.02)1nste为或n2e11t-xo(t)t01n2e11t-得21nste22ln1lnln1ssnnttn2e11t-xo(t)t01n2e11t-nst21lnln得21nste05.0,302.0,41lnln2nnnst当阻尼比ζ一定时，无阻尼自振角频率ωn越大，则调整时间ts越短，系统响应越快。当ζ较大时，前面两式的近似度降低。当ωn一定时，变化ζ求ts的极小值，可得当ζ=0.707左右时，系统单位阶跃响应的调整时间ts最短，即响应最快。jdn0s2s1××n极点位置与阻尼角在欠阻尼状态下，当0ζ0.7时，34.01ln02而当0.02Δ0.05时，4ln3因此，21ln相对于ln可以忽略不计，所以有(5)振荡次数N调整时间ts内响应曲线振荡的次数。2122nddT05.0,15.102.0,1222dsTtN05.0,302.0,4nnst05.0,ln5.102.0,ln2ppMMN21eMpN仅与阻尼比有关。越大，N越小，系统的平稳性越好。几点结论：①二阶系统的动态性能由固有频率ωn和阻尼比ζ决定。②增加ζ降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N。系统快速性降低，tr、tp、ts增加。③ζ一定，ωn越大，系统响应快速性越快，tr、tp、ts越小。④Mp、N仅与ζ有关，而tr、tp、ts与ζ和ωn有关。⑤通常根据允许的最大超调量Mp来确定ζ。ζ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。jdn0s2s1××n极点位置与阻尼角小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼比）决定响应的平稳性；阻尼比（阻尼角）一定时，极点与虚轴的距离决定响应的快速性。221arctan1dn，3.4.3例题例3.1如图所示系统，要使系统的最大超调量等于20%，峰值时间等于1秒，试确定增益K和Kh的数值，并确定在此K和Kh数值下，系统的上升时间tr和调整时间ts。Xi(s)Xo(s)-1sKh1ssKXi(s)Xo(s)-1sKh1ssK解：（1）系统的闭环传递函数为2222211111nnnhhssKsKKsKsssKKssKs此系统为二阶系统，其中122hnnKKK（2）已知系统的最大超调量等于20%，即2.021eMp0.4559lnln222ppMM可解得系统的阻尼比为（3）已知系统的峰值时间等于1秒，即可解得系统的固有频率为stndp112sradtpn3.529912（4）增益K（5）增益Kh（6）上升时间tr（7）调整时间ts22212.4599sradKns0.178112KKnhsarctgtnr0.6507112205.0,s1.8640302.0,s2.485341lnln2nnnst（8）系统的单位阶跃响应曲线例3.2图(a)所示为一机械系统，当在质量M上施加8.9N的阶跃力后，测得其位移的时间响应曲线如图(b)所示，试求系统的质量M、弹簧刚度K和粘性阻尼系数D。(a)机械系统(b)时间响应曲线dttdxDtKxtfdttxdMooio22222222111nnniossKMKsMDsMKKKDsMssFsXsGMKn2MDn2解：（1）根据牛顿第二定律，列出系统的微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，整理后可得系统的传递函数此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联，其中令ssFi9.8mtxot03.0limmsKBsMsssFssGssXtxsisosot03.09.81limlimlimlim2000（2）已知系统的输入为阶跃力又已知系统的稳态响应为根据拉氏变换的终值定理，有可解得弹簧刚度mNK/296.666703.09.8Ntfi9.8其拉氏变换为xKF0967.003.00029.021eMp0.5968lnln222ppMM)(212stndpkg77.41432nKMsNmMDn/180.87752（3）已知系统的最大超调量可解得阻尼比（4）已知系统的峰值时间可解得固有频率，可得质量MKn2（5）因为（6）因为MDn2，可得粘性阻尼系数sradtpn/1.957612（7）施加8.9N的阶跃力后，系统的响应曲线第3次作业：P.1093-53-63-73-83-9