第3章_线性控制系统的能控性和能观性

第3章线性控制系统的能控性和能观性3.1能控性的定义3.2线性定常系统的能控性判别3.3连续时间线性定常系统的能观性3.4离散时间系统的能控性与能观性3.5时变系统的能控性与能观性3.6能控性与能观性的对偶关系3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型3.8线性系统的结构分解3.9传递函数阵的实现问题3.10传递函数中零极点对消与能控性和能观性之间的关系本章主要学习和掌握内容：1、能控性与能观测性的定义及判别准则(连续定常系统、离散系统);2、系统的对偶关系及对偶原理；3、系统的能控标准型与能观标准型；4、线性系统的结构分解；5、系统的最小实现。现代控制理论：状态空间分析法；状态空间表达式由状态方程和输出方程组成(体现为分段内部描述)：能控性：用于分析u(t)对状态x(t)的控制能力；能观测性：用于分析输出y(t)对状态x(t)的反映能力。经典控制理论：讨论控制作用(输入)对输出的控制，以传递函数描述两者关系(外部描述)。若系统稳定则输出必可控，且输出通常可观测(通常为被控量)。状态方程描述输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程描述由状态变化引起的输出y(t)的变化。对于系统是否能控、能观测的研究：能控性与能观测性是用于描述系统内在特性的两个概念，属于对系统的定性分析。能控性说明“输入是否能够控制(影响)状态的变化”；能观测性说明“输出是否能够反映状态的变化”。例：输入为u，输出为y，状态变量x1和x2分别为电容器C1和C2上的电压u1和u2。uxx11yu021xx10023xx212121能观测。对于输入能观测，对于输入不能控；对于输入能控，对于输入yxyxuxux2121状态反馈系统带有状态观测器的状态反馈系统能控性与能观测性概念在理论和工程实践中极为重要：最优控制—确定控制输入u使状态达到预期轨线；状态反馈系统—改善系统品质，如极点配置、系统镇定等212121xx01yu20xx2001xx212121xx11yu11xx2001xx212121xx11yu11xx1001xx很多时候，单从状态空间表达式本身不能直接判断系统的能控性和能观测性！从状态方程看：输入u只能控制x2，不能控制x1，因而x1是不能控的；从输出方程看：输出y仅能反映x1，不能反映x2，因此x2不能观测。从状态方程看：x1和x2均受控于输入u，因而系统能控；从输出方程看：输出y既能反映x1，也能反映x2，因此系统能观测。x1和x2是否均能控和能观测？实际上，该系统的两个状态变量既不是完全能控、也不是完全能观测的。上述讨论只是对能控性、能观测性这两个概念的直观和不严密的说明，只能用于一些直观、简单系统的能控、能观测性的判断！3.1能控性的定义主要学习和掌握内容：1、学习、理解和掌握能控性的概念：状态能控和系统能控。迹)。，不考虑状态的运动轨到零终态转移由非零初态能约束(只考虑状态是否没有时，控制作用u(t)(4)讨论能控性问题能控性与能达性等价。线性定常系统，系统的连续时间(3)对于称系统完全能达。系统所有状态能达，则。若)能达)，则称状态x(t非零终态x(t)转移到]内将零初态x(tt,u(t)能在[t一个控制输入：若存在系统能达性定义(1)几点说明：ff0f0。)简称系统能控能控(完全系统称则，能控所有状态系统状态空间中若。)能控)，则称状态x(tx(t终态到零)驱动)转移(系统由非零初态x(t，将]内t,[t有限时间连续)能在u(t)(分段无约束控制存在一个，若对线性定常系统0f010BuAxx1.线性连续定常系统的能控性定义注意区别单个状态能控与系统完全能控！Hu(k)Gx(k)1)x(kB(t)uA(t)xx2.线性连续时变系统能控性定义3.离散系统能控性定义(仅针对单输入系统)时刻能控。调状态在t需强能控性定义有关，因此时变系统的t转移与，因x(t)能控性定义同定常系统变。A(t)，B(t)时00还初始时刻的时变系统的。完全，。能控则称此状态，0)x(k零状态，即到达时)步的x(k)在第(k第k步使能，1)u(k,1),u(k，控制序列u(k)有限若存在能控则系统态x(k)都能控若系统在第k步所有状lll主要学习和掌握内容：1、学习和掌握线性定常系统能控性判别的两种方法：(1)转化为约当标准型后根据阵情形判别；(2)直接利用A阵和B阵构成能控性判别阵M进行判断。3.2线性定常系统的能控性判别B~)~,~,~(CBA。能控完全系统，则不包含全零行阵若变换后的BT，，通过非奇异变换，则：互异λ，若，对1iBBBI~~~~~)(1n2111iλλλΛATTAuzAzxTzTzxλλAλBuAxx00ni单输入或多输入系统均适用一、方法1：通过将系统转换为约当标准型后判断能控性判据1-1(子判据)：对于线性定常系统(A,B)，若A具有互异特征值，则系统状态完全能控的充要条件是经非奇异变换后得到的对角标准型的输入矩阵不包含全零行。)B,A(~~B~;Buxxx157xxx32132100系统不能控，750b(2)B例(尤教材p118)系统能控，752b(1)B系统不能控，570400(4)B系统能控，570410(3)B21321321uu570410xxx157xxx00u752xxx157xxx321321001改为0时，状态x1不能控，则系统不能控2改为0时，状态x1不能控，则系统不能控系统能控性与系统结构及输入施加情况有关！状态。同时，，，相，因为完全。判别系统能控”全零行含B不包“故不能由，件但特征值不满足互异条，虽然A为对角线阵转移到零将它们u(t)不可能找到一个)时(tx)(t当x同子系统组成两个完全它由能控实际上本系统状态不0201例(尤教材p117)u11xx2002xx2121系统不能控.不满秩,秩为1,2121M22Ab,11b后面介绍的秩判据：用)du(11e(0)x(0)xe(t)x(t)x)-A(t21At21t0lill,,2,1~~~~，系统能控，零时为最后一行不全B各，:式中；，，iiiiiλ1λ1λJBBBBTBJJJJATTAuBzAzxTzTzxBuAxx21121110000能控性判据1-2(子判据)：对于线性定常系统(A,B)，A具有重特征值且每个重特征值只对应一个独立特征向量。系统状态完全能控的充要条件是经非奇异变换后的约当标准型中的每个约当块最后一行在输入阵中对应的各行元素不全为零.)B,A(~~B~A~单输入或多输入系统均适用例(尤教材p119)系统不能控，02b若buxx4014xx2121系统能控，20若b系统能控性与系统结构及输入的施加位置有关！u;00200101xxxx3013004014xxxx(2)43214321u;20000100xxxx3013004014xxxx(1)43214321系统能控系统不能控特征值－4和－3均只对应一个独立特征向量(因在A中均只对应一个约当块)u00200001xxxx30134014xxxx4321432100u20000100xxxx30134014xxxx4321432100系统的能控性取决于系统的结构、参数(系统矩阵A决定)及控制作用的施加位置(输入矩阵B决定)。u00200001xxxx30134014xxxx4321432100u20000100xxxx30134014xxxx4321432100状态变量仍为能控。隔离而不能控，其后的的状态变量因与输入则其那个而是中间某一个，变量不是最状态联结构中能控状态变量都能控；若串则该串联结构中的所有态变量能控，串联结构中最前面的状具有串联结构特点，若约当前面前面的标准型能控性判据1(综合判据,适用于任意线性定常系统)：若线性定常系统(A,B)，经非奇异变换后的约当标准型为，则系统状态完全能控的充要条件是：(1)若某特征值只对应一个独立特征向量(该特征值可能是互异根也可能是重根)，则该特征值在中对应的约当块最后一行在中的对应行的元素应不全为0；(2)若某特征值对应多个独立特征向量(必为重根)，则该特征值在中对应的各个约当块的最后一行在中的对应行无全零行且线性无关(即这些行构成的矩阵行满秩)。u10200001xxxxxxxx432143213-000130000200001系统不能控B~)~,~(BAB~A~A~u00201001xxxxxxxx432143213-000130000200001系统不能控u01201001xxxxxxxx432143213-000130000300013系统能控u301011100001xxxxxx300000030000013000000200000120000002xxxxxx654321654321系统不能控若该行改为(02),则系统不能控若该行改为(10),则系统能控λ＝－3为4重根特征值，对应两个独立特征向量(在A中对应两个约当块)特征值2和3分别对应两个独立特征向量(在A中分别对应两个约当块)。不能控分量状态个nn，能控分量个状态n统中有若按能控性划分，则系：状态不完