第3章_线性方程组_习题答案

第3章线性方程组习题参考答案1.设向量组线性无关，证明也线性无关。321,,证明：设有常数使得133221,,321,,0)()()(0)()()(332221131133322211由线性无关可得：321,,0003221310321解得：线性无关。133221,,3.设是同维向量，若成立，必有。问是否线性无关？mm,,,,,,,2121解：不一定，因为给定条件只能说明线性无关给出一个特例，此时就是线性相关的。022112211mmmmkkkkkk021mkkkmm,,,,,,121mm,,,2211021mmm,,,,,,1214.若线性相关，线性相关，那就有不全为0的数使得因此，所以也线性相关。这种证法是否正确？m,,,21解：如果两组向量所对应的系数一致，则该证法正确，否则不一定。0022112211mmmmkkkkkkmkkk,,,21m,,,21mm,,,22110222111mmmkkkmkkk,,,215.举出一个线性相关的例子，使其中存在非0向量不能用其余向量线性表出。解：任意一组线性无关的向量外加一个0向量即可。6.设向量能用向量组线性表出，且表示方式是唯一的，试用反证法证明必线性无关。证明：假设线性相关，则至少存在一个可以被其余向量线性表出，即m,,,21m,,,21m,,,21i)1(111111mmiiiiikkkk已知能用线性表出，且方式是唯一的，即存在唯一的一组使得m,,,21)2(2211mmm,,,21将（1）式代入（2）式得：mmmmiiiiiiikkkk)(111111112211mmimiiiiiiiiiikkkkk)()()3()()()(111111222111对比（2）（3）式得：)2(2211mm)4(0111111222111mimmiiiiiiiiiiikkkkk将方程组（4）中一式代入其它方程，得如下方程组：)5(011112211mmiiiii0i容易看出，该方程组的解是无穷多个，这就与题设条件，存在唯一一组矛盾。故假设不成立，是线性无关的。m,,,21m,,,217.设，且，试证若A的n个列向量线性无关，则B=0；若B的n个行向量线性无关，则A=0.证明：以记记A的列向量，记B的行向量，由题2-12的证明可知：AB的第i个行向量=AB的第j个列向量=0ABpnijnmijbBaA)(,)(nAAA,,,21n,,,21niniiaaa2211nnjjjAbAbAb2211则当线性无关时，由AB=0可知nAAA,,,21pjbbbnjjj,,2,1,021即B=0；同理可证：当线性无关时，B=0；n,,,2110.设给定了n维向量组),,,(),,,(),,,(21222212112111mnmmmnn（1）若从每个向量中去掉第个分量，得到一个n-s维向量组。证明：当线性相关时，也线性相关；反过来，当线性无关时，也线性无关。)1(,,,21nsiiisn',,','21n,,,21n',,','21n,,,21n',,','21证明：当线性相关时，存在不全为0的一组常数使得n,,,21n,,,2102211nn021222212112111mnmmmnn即若从每个向量中去掉第个分量，上式仍然成立，即也线性相关。siii,,,21n',,','21若线性无关，即仅当常数全为0时，才有n',,','21nkkk,,,210'''2211nnkkk即个分量不含第smnmmmnniiikkk,,,,02121222212112111在每个向量中加上第个分量，上式仍然成立，即也线性无关。siii,,,21n,,,21（2）若把它们的分量作如下变换：(i)互换i,j两个分量的位置；(ii)用非0常数c乘以第i个分量；(iii)把第i个分量的k倍加到第j个分量上去。经过上述变换的任一种后，得到的新向量组记为证明向量组与向量组同时线性相关或同时线性无关。证明：将向量组排成一个矩阵，记为A则以上3中变换等于让矩阵A乘以一个初等矩阵。初等矩阵是可逆矩阵，A乘以初等矩阵之后其秩不变，即它的向量线性相关还是无关，不发生变化。n'',,'',''21n,,,21n'',,'',''21n,,,2111.设是互不相同的n个数，证明向量组线性无关。证明：将该向量组的向量当成行向量，写成矩阵形式：nttt,,,21),,,2,1(),,,,1(12nrritttniiii121222211211111nrrrnntttttttttAnr∵，∴可以将A分成和两块：nrrr)(rnr1122121121222211211111nrrrnrnrrrrrrrtttttttttttttttA∵互不相同，∴∴A’的秩为r又∵A和A’的关系，A的秩也为r∴构成A的r个向量是线性无关的。将A左边的子块记作A’，求其行列式：rrrijjirrrrrrtttttttttttA1121222211211)(111|'|nttt,,,210|'|A),,,2,1(),,,,1(12nrritttniiii1122121121222211211111nrrrnrnrrrrrrrtttttttttttttttA证明：均可以表示为的线性组合，即：12.设两个向量组与是两个同维向量组，若每个向量组中的向量都是另一个向量组中向量的线性组合，则称这两个向量组等价。证明若向量组与向量组等价，则它们的秩相等。s,,,21m,,,21s,,,21m,,,21s,,,21m,,,21msmssmmskkkkkkkkk2121222211121121表示为矩阵形式：KBA即向量组和的秩相等。同理，均可以表示为的线性组合，即：s,,,21m,,,21smsmmssmhhhhhhhhh2121222211121121表示为矩阵形式：HBBBAABAHBBABKArrrrrrrHABrrrrrKBA),min(),min(s,,,21m,,,21(1)证明：充分性当时，A,B的关系可表示为13.设向量组能由向量组线性表示为：其中K为矩阵，且向量组A线性无关。证明：(1)当时，B线性无关的充要条件是sA,,,:21rB,,,:21srK11srsr0Ksr方阵是其中或rrKKABKrr,11rrA可逆KK0A线性无关rrrrAKAB即：B线性无关(1)证明：必要性当时，A,B的关系可表示为13.设向量组能由向量组线性表示为：其中K为矩阵，且向量组A线性无关。证明：(1)当时，B线性无关的充要条件是sA,,,:21rB,,,:21srK11srsr0KsrrrBB线性无关rrK∵K是方阵，其秩最大是r，∴KBrrKABrr0KKrrK可逆方阵是其中或rrKKABKrr,11(2)证明：充分性A,B的关系可表达为13.设向量组能由向量组线性表示为：其中K为矩阵，且向量组A线性无关。证明：(2)对于一般的r和s，B线性无关的充要条件是sA,,,:21rB,,,:21srK11srrrK根据矩阵乘法的定义可知，B必为矩阵，A为矩阵已知A线性无关srrK矩阵是其中srKKAB,rrrsrsrAsr证明转入第(1)小题。(2)证明：必要性A,B的关系可表达为13.设向量组能由向量组线性表示为：其中K为矩阵，且向量组A线性无关。证明：(2)对于一般的r和s，B线性无关的充要条件是sA,,,:21rB,,,:21srK11srrrK根据矩阵乘法的定义可知，B必为矩阵，A为矩阵已知A线性无关rsrA矩阵是其中srKKAB,rrrssrrA证明转入第(1)小题。rrrrrrKABAAKB),min(15.下列方程组是否有解？若有，解之。（1）32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解：增广矩阵20000104501132110450104501132132212235131132123131223rrrrrrB方程无解。（2）36475534724253432143214321xxxxxxxxxxxx解：增广矩阵10000010013647553147136475531472425331319311323323432352313383223463131931132332343235573234323532313121rrrrrrrB方程无解。（3）1278753299348852321321321321xxxxxxxxxxxx解：增广矩阵