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第3章静定结构受力分析一、静定单跨梁的类型（1）简支梁；（2）悬臂梁；（3）伸臂梁二、杆件截面内力及正负号规定1、轴力：沿杆件轴线方向的截面内力，拉力为正、压力为负。2、剪力：相切于横截面的内力，顺转为正，反之为负。3、弯矩：截面内力对截面形心的力矩，下部受拉为正、反之为负。NN－＋NNQQ＋QQ－M＋M－MMPPmmPmmPmm（2）替代NN（3）平衡取左段为研究对象：ΣΧ=0N－P=0得N=P或取右段为研究对象：ΣΧ=0－N+P=0得N=P截面法：是求内力的基本方法。截面法计算内力的步骤：（1）截开三、截面法3、用截面法计算指定截面的内力的表达式轴力=截面一边所有外力沿杆轴方向投影的代数和，其投影方向离开截面时，轴力为正，反之为负。剪力=截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影的代数和，其投影方向对截面顺转时为正，反之为负。弯矩=截面一边所有外力对截面形心力矩的代数和，当力矩使梁下部受拉时，弯矩为正，反之为负。举例分析：例：ABCD0.2m10kN2kN/m2m4m2m求截面C、D左、D右的内力。解：1、求支座反力10kN3.75kN0.25kN2、C截面的内力取C截面以左为对象：NC=－10kNQC=3.75－2×2=－0.25kNMC=3.75×2－2×2×1=3.5kNm3、D左截面的内力ND左=－10kN取D左截面以左为对象：QD左=3.75－2×2=－0.25kNMD左=3.75×6－2×2×5=2.5kNm取D右截面以右为对象：ND右=0QD右=－0.25kNMD左=0.25×2=0.5kNm4、D右截面的内力四、荷载与内力之间的微分关系dQdx=－qdMdx=Qd2Mdx2=－q表示剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度。表示弯矩图在某点的切线斜率等于该点剪力。表示弯矩图曲线在某点的二阶导数等于该点的荷载集度。1、在均布荷载作用区段：Q图为斜直线；M图为抛物线，抛物线的凸向与q的指向一致。2、在无荷载作用区段：Q图为水平线；M图为斜直线。3、在集中力作用处，剪力图有突变，弯矩图有一尖角。4、在集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力图无变化。五、内力图的绘制1、规定：弯矩图一律画在杆件受拉一侧，不注明正负号；剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但需注明正负号。2、步骤：（1）选择控制截面。如分布荷载的起点和终点、集中力和集中力偶的作用点（包括支座）。（2）用截面法计算控制截面的内力值。（3）分段绘制内力图。将一杆件以控制截面分段，以控制截面的内力值作为内力图在该截面的纵坐标，由荷载与内力的微分关系的特征绘制各段的内力图。例：作图示简支梁的弯矩图。ABCD16kN4kN/m1m4m2m1mE1、求支座反力（如图）22kN10kN2、分段，并求控制截面内力AC段：MA=0MC=22×1=22kNm(下拉）CD段：MD=22×2－16×1=28kNm(下拉）DE段：ME=10×2=20kNm(下拉）MDE中=10×4－4×2×1=32kNm(下拉）EB段：MB=03、作弯矩图M图（kNm)22282032例2：ABCD20kN10kN/m2m4m2m40kNm1、求支座反力（如图）30kN30kN2、分段作弯矩图ACDBM图（kNm)608040MDB中=30×2－10×2×1=40kNm（下拉）40叠加法绘制直杆弯矩图一、简支梁弯矩图的叠加方法ABqMAMBLABMAMBABq＋MAMB18qL2MAMBMAB中MAB中18qL2MAB中=（MA＋MB）/2若MA、MB在杆的两侧，怎么画？ABMAMBABPMAMBLabMAMB＋ABPPabLMAMBMPabLM怎么计算？当P作用在AB段中点时，又是怎样？二、分段叠加法ABDPqCa梁上任意段都可用叠加法画弯矩图，具体做法如下：（以CD段为例）1、用截面法求出MC、MD，将其值画在杆件受拉一侧。2、将MC、MD连以虚线，以此为基线，从该基线的中点铅垂向下qa2/8。3、将MC、MD和中点以曲线相连，即得该段的弯矩图。MCMD思考：AC段和DB段怎么画？例：作如图所示梁的弯矩图。ABD4kN1kN/mC2.5m2.5m2m3kNm解：用分段叠加法，可以不求支座反力画出弯矩图。1、计算控制截面弯矩。MA=－3kNm（上拉）MB=－1×2×1=－2kNm（上拉）MD=02、用分段叠加法绘制弯矩图。ABD32C(5)2.50.5例：绘制如图所示梁的弯矩图。ABD6kN2kN/mC2m4m2m8kN2kN/m2m2mEF解：1、求支座反力15kN11kN2、计算控制截面内力MC=0MA=－6×2=－12kNmMD=－6×6＋15×4－2×4×2=8kNmMB=－2×2×1=－4kNmMF=0128424810M图（kNm）一、刚架的类型1、悬臂刚架3、三铰刚架2、简支刚架4、多跨或多层刚架刚架内力计算用截面内力算式直接列式计算：轴力=截面一边所有外力沿杆轴方向投影的代数和，其投影方向离开截面时，轴力为正，反之为负。剪力=截面一边所有外力沿杆轴法线方向投影的代数和，其投影方向对截面顺转时为正，反之为负。弯矩=截面一边所有外力对截面形心力矩的代数和，弯矩不规定正负号，可先假定杆端某边受拉为正，列式计算，算出结果为正，表示该边受拉，算出结果为负，表示另一边受拉。静定刚架内力图的绘制一、内力图的绘制规定弯矩图画在杆件受拉一侧，不注正负号；剪力图、轴力图可以画在杆件任一边，应注明正负号。二、内力图的绘制方法用分解和组合的方法。即先分别绘制各杆的内力图，组合在一起，得到刚架的内力图。因刚架由直杆组成，有荷载段，可用叠加法画弯矩图。三、内力图的校核除一般校核平衡条件和荷载、内力微分关系外，重点是校核刚结点处的平衡条件，即∑X=0，∑Y=0，∑M=0例1：作图示刚架的弯矩图。2kN/mABC4m5m计算杆端弯矩作弯矩图MCB=0MBC=2×4×2=16kNm（上拉）MBA=2×4×2=16kNm（右拉）MAB=2×4×2=16kNm（右拉）M图（kNm)ABC1641616例2：作图示刚架的弯矩图。ABCD1kN/m4m4m4kN1m8kN7kN7kNM图（kNm）ABCDMAD=0MDA=8×4－1×4×2=24kNm（右拉）24214MDC=4×1=4kNm（左拉）4MDB=7×4=28kNm（下拉）28MBD=0课内练习：作图示刚架弯矩图。ABC4m3m2m10kNDM图（kNm）ABC2030D202020绘制弯矩图时的注意事项：1、刚结点处力矩应平衡。2、铰结点处弯矩为零。3、无荷载的区段弯矩图为直线。4、有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的凸向与均布荷载的指向一致。5、利用弯矩、剪力与荷载之间的微分关系。6、运用叠加法。如能熟练地运用上述注意事项，可以在不求支座反力或只求个别支座反力情况下，迅速绘出弯矩图。（举例说明）例1：作图示刚架弯矩图APBCDEFGaaaa/2a/2PaPaPaPaPaPaPaPa例2：做图示刚架弯矩图。ABCDPaabPPbPb课内练习讨论：不计算支座反力或只计算部分支座反力绘出如图所示刚架的弯矩图。ABCDM=2PLL/2L/2LPPPL/2PL/2PLPL10kN20kN/mABCD4m4m4mABCD80kN16012040120(kNm)静定平面桁架1、桁架的特点（1）结点都是铰结点。（2）各杆的轴线都是直线，且通过铰的中心。（3）荷载和支座反力都作用在结点上。（4）各杆只有轴力。2、桁架杆件轴力的正负号规定桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时通常假设杆件的未知轴力为拉力，若计算结果为正，说明杆件受拉，反之受压。计算桁架杆件轴力的数解法1、结点法截取一个结点为对象，列出平面汇交力系的两个平衡方程：∑X=0；∑Y=0计算杆件的未知轴力。结点法宜应用于解简单桁架的全部杆件的轴力，以及和截面法联合应用求解桁架部分杆件的轴力。结点法的特殊情形—零杆的判别1、无外力作用的不共线的两杆结点，两杆轴力都为零。N1N2N2=0N1=－PN1=N2=02、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴力为零。PN2N12、截面法用截面截取两个以上结点作为对象，列出平面一般力系的三个平衡方程：∑X=0，∑Y=0，∑M0=0计算三个杆件的未知轴力。截面法适合于计算桁架中指定杆件的轴力。在计算中为了避免解联立方程，应注意对平衡方程的选择。一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个，但在某些特殊情形下，当截断杆数超过三根是时，可以求出其中一根杆的轴力。3、结点法和截面法的联合应用在桁架计算中，有时联合应用结点法和截面法更为有利。如先用截面法计算某些杆的轴力，然后用结点法或截面法计算其他杆的轴力。例：求图示指定杆的轴力ABCDE4kN4kN8kN4m4m3m3m1234解：取n-n截面以上为对象nnCD4kN4kN8kNN1N4∑MD=0N1×6＋8×3＋4×4=0得：N1=－6.67kN由∑MC=0得N4=－1.33kNmm由结点E可知：N2=－N3取m-m截面以上为对象N1CDE4kN4kN8kNN2N3N4由∑Y=0得N2=－6.67kN所以：N3=6.67kN