傅立叶变换与拉普拉斯变换

第二章控制系统的数学模型烟台大学光电学院§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换2.1.1傅立叶级数一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t)可以展开成傅立叶级数的形式：011()(cossin)2nnnftaantbnt2021a()TTftdtT222()cosTTnaftntdtT222()sinTTnbftntdtT(1,2,3)nn=0——直流分量n=1——基波谐波n=2——二次谐波：傅立叶级数的物理意义：例1：求周期方波的傅立叶级数展开式。（P19）0,24(),440,42TTtTTftAtTTt4T2T4T2Ttf(t)A0方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以合成方波。2402242()coscossinsin42TTTnAnTAnaftntdtAntdtTTnTn222()sin0TTnbftntdtT2202211()TTTTaftdtAdtATT01112()(cossin)sincos222nnnnAAnftaantbntntn211(coscos3cos5)235AAtttt0基波分量一次谐波t0三次谐波合成波形t0五次谐波各种不同频率的谐波可以合成方波。所含谐波越多，越接近方波。低次谐波影响顶部，高次谐波影响跳变沿。tf(t)A0Dirichlet条件周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet条件：（1）在一个周期内只有有限个不连续点；（2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值（3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积，即：22|()|TTftdt积分存在对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数的形式，引入傅立叶变换：2.1.2傅立叶变换()jtFftedt－正变换（）=：()jtfFed－逆1（t）变=2换：|()|ftdt傅立叶变换存在的充分条件：信号f(t)满足绝对可积，即：例2：,()0,,Aatafttataf(t)A0a-atω0|F(ω)|2aAa2a3aa2a3a2()()sinajtjtaAFftedtAedta则：2sin|()||sin|2||AaFaaAa对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件，但引入一衰减因子后，可以满足绝对收敛的条件。例如：阶跃函数1(t)不满足但增加衰减因子后，满足则：令：s=σ＋jω则得到拉普拉斯变换。2.1.2拉普拉斯变换1(t)dt1(t)tedtte()01()1(t)tjtjtFeedtedtj1.拉普拉斯变换()()jstftFseds－j逆变换：1=2j()()stFsftedt＋－（）=正换：双边变0()()stFsftedt＋（）=单边()()ftFs——原函数；——象函数2.常用函数拉普拉斯变换（P28表2－3）21(1)(2)(3)(4)(111()1()(11!5)1)natnttttnsssaes222222222(6)(7)(8)(sincossinco1()()()9)(0s1)atatattetsassssasasetatet★3.拉普拉斯变换基本性质（P28表2－2）基本运算原函数象函数1线性2时域平移3尺度变换4对t微分（P23）5对t积分6对s微分00()1()ftt12()()aFsbFs12()()aftbft0()seFs()ft()Fs()fat1()sFaa()nndftdt11()0()(0)nnnrrrsFssf()ftdt(1)1[()(0)]Fsfs()tft()dFsds3.拉普拉斯变换基本性质（续）基本运算原函数象函数7对s积分8s域平移9初值10终值11卷积()ft()Fs()sFsds1()ftt()ateft()Fsa0lim()tftlim()ssFslim()tft0lim()ssFs12120()*()()()tftftfftd12()()FsFs查表法（P28表2－3）部分分式展开法留数法4.拉普拉斯逆变换已知象函数F(s)，求原函数f(t)部分分式展开法1212()()()()()()()()()mnszszszBsFsAsspspspF(s)化成下列因式分解形式：mnzp——零点；——极点(1)F(s)中具有不同的极点时，可展开为1212()nnaaaFsspspsp[()()]|kkkspaFssp1212()npppnftaeaeae则：例3:求的原函数f(t)。22()43sFsss解：12222()43(1)(3)(1)(3)ccssFsssssss11121(1)()||(3)2ssscsFss23321(3)()||(1)2ssscsFss1122()(1)(3)Fsss311()22ttftee(2)F(s)含有多重极点时，可展开为11111111()()()()()()nrrrrrrnacccaFsspspspspsp11[()()]|rrspcFssp111{[()()]}|rrspdcFsspds11:1{[()()]}|!:jrrjspjdcFsspjds111111{[()()]}|(1)!rrsprdcFssprds[()()]|kkkspaFssp1121211()[](1)!(2)!irrnptptrriirctctftctceaerr则：解：例4:求的原函数f(t)。22()(1)(3)sFssss3124222()(1)(3)(3)(1)(1)ccccsFssssssss102()|3scsFs231(3)()|12scsFs2311(1)()|2scsFs24113[(1)()]|(21)!4sdcsFsdt32113()31224tttftetee2211331224()(3)(1)(1)Fsssss解：例5：求函数的逆变换223()(25)(2)sFssss222233()(2)(25)(2)(12)(12)ssFssssssjsj312(2)(12)(12)cccssjsj127(2)()|5scsFs21212(12)()|5sjjcsjFs31212(12)()|5sjjcsjFs21212755()5(12)(12)tjjftesjsj272[cos(2)2sin(2)]55teetttsin()2cos()2jtjtjtjteetjeet欧拉公式：