搜索
第1页（共19页）2014-2015学年上海实验学校高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）函数的定义域是．2．（4分）若函数在（﹣2，4）上的值域为．3．（4分）若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．4．（4分）函数在（0，+∞）上取最小值时的x的值为．5．（4分）方程lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）的解是x=．6．（4分）函数的反函数是．7．（4分）若f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，，则f（x）的值域是．8．（4分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．9．（4分）已知实数a＞0，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上最大值和最小值之差为|a2﹣a|+1，则实数a的值为．10．（4分）关于函数f（x）=，给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值，则其中真命题是．（只要写标题号）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）“a=﹣3”是“函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（4分）如图是函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象，则下述结论正确的是（）第2页（共19页）A．m，n是奇数，且m＜nB．m是偶数，n是奇数，且m＞nC．m是偶数，n是奇数，且m＜nD．m是奇数，n是偶数数，且m＞n13．（4分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0B．f（x1）＜0，f（x2）＞0C．f（x1）＞0，f（x2）＜0D．f（x1）＞0，f（x2）＞014．（4分）若函数f（x）=（k﹣1）ax﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共6小题，满分64分）15．（10分）已知A={x||x﹣a|＜1}，，且A∪B=B，求实数a的取值范围．16．（10分）已知函数f（x）=lg（x+1）（1）当x∈[1，9]时，求函数f（x）的反函数；（2）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围．17．（12分）设是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性并证明；（3）若方程f（x2﹣2x﹣a）=0在（0，3）上恒有解，求实数a的取值范围．18．（12分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；第3页（共19页）（3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．19．（10分）已知集合M={f（x）|在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由．（2）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．（3）设函数f（x）=lg∈M，求实数a的取值范围．20．（10分）已知f（x）=x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，ak+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（ak）＜f（ak+1）成立，求k的最大值．第4页（共19页）2014-2015学年上海实验学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）（2014秋•上海校级期末）函数的定义域是（﹣∞，﹣2]．【考点】函数的定义域及其求法．菁优网版权所有【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴x≤﹣2．∴函数的定义域是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．2．（4分）（2014秋•上海校级期末）若函数在（﹣2，4）上的值域为．【考点】函数的值域．菁优网版权所有【分析】函数f（x）=1﹣，由于x∈（﹣2，4），利用反比例函数的单调性可得∈，即可得出．【解答】解：函数==1﹣，∵x∈（﹣2，4），∴∈，∴1﹣∈，∴函数在（﹣2，4）上的值域为∈，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数的单调性，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a=．【考点】反函数．菁优网版权所有第5页（共19页）【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．【解答】解：若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．4．（4分）（2014秋•上海校级期末）函数在（0，+∞）上取最小值时的x的值为1．【考点】基本不等式．菁优网版权所有【分析】在将函数式裂项，=2（x+）+1，再运用基本不等式求最值，最后确定取等条件．【解答】解：=2x++1=2（x+）+1，∵x＞0，∴x+≥2，因此，f（x）≥2×2+1=5，当且仅当：x=即x=1时，函数f（x）取得最小值5，故答案为：1．【点评】本题主要考查了运用基本不等式求函数的最小值，以及取等条件的分析，“一正，二定，三相等”是其前提条件，属于基础题．5．（4分）（2014秋•上海校级期末）方程lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）的解是x=3．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．菁优网版权所有【分析】由对数式的真数大于0，然后去掉对数符号直接解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）得，解得：x=3．故答案为：3．【点评】本题考查了对数式的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是验根，是基础题．6．（4分）（2014秋•上海校级期末）函数的反函数是4﹣x2（x≥0）．第6页（共19页）【考点】反函数．菁优网版权所有【分析】先确定原函数的值域[0，+∞），这是其反函数的定义域，再从原式中分离x，最后交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）．【解答】解：根据求反函数的步骤，先求函数的值域，显然函数的值域为y∈[0，+∞），这是其反函数的定义域，再将函数式两边同时平方，y2=4﹣x，即x=4﹣y2，再交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）=4﹣x2（x≥0），故答案为：4﹣x2（x≥0）．【点评】本题主要考查了反函数的求法，涉及函数值域的确定以及原函数与反函数定义域与值域间的关系，属于基础题．7．（4分）（2014秋•上海校级期末）若f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，，则f（x）的值域是[﹣，]．【考点】函数奇偶性的性质．菁优网版权所有【分析】设t=，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．8．（4分）（2015•南京模拟）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．菁优网版权所有第7页（共19页）【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．9．（4分）（2014秋•上海校级期末）已知实数a＞0，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上最大值和最小值之差为|a2﹣a|+1，则实数a的值为2或．【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有【分析】分类讨论以确定函数的单调性及最值，从而建立方程，从而解得．【解答】解：若0＜a＜1，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上是减函数，故fmin（x）=f（2）=a2+loga2，fmax（x）=f（1）=a，故fmax（x）﹣fmin（x）=a﹣（a2+loga2）=|a2﹣a|+1，解得，a=；若a＞1，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上是增函数，故fmax（x）=f（2）=a2+loga2，fmin（x）=f（1）=a，故fmax（x）﹣fmin（x）=（a2+loga2）﹣a=|a2﹣a|+1，解得，a=2；故答案为：2或．第8页（共19页）【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及基本初等函数的单调性的判断与应用．10．（4分）（2014秋•上海校级期末）关于函数f（x）=，给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值，则其中真命题是②．（只要写标题号）【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有【分析】①x＞0时，由x≠1知y=f（x）不具有单调性，判定命题错误；②函数f（x）=是偶函数，在x＞0且k＞0时，判定函数y=f（x）与y=kx在第一象限内有交点；由对称性知，x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内有交点；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；③函数f（x）=是偶函数，且f（x）=0，举例说明k=0时，方程f（x）=k有1个解；④函数f（x）=是偶函数，由①，即可判断结论是否正确．【解答】解：①当x＞1时，y=f（x）==1+在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x＜1时，y=f（x）=﹣=﹣1﹣在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题①错误；②函数f（x）=f（x）=是偶函数，当x＞0时，y=f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；∴命题②正确；③∵函数f（x）=