第五章 主成分分析

2020/1/221第五章主成分分析目录上页下页返回结束•§5.1主成分分析的基本思想与理论•§5.2总体主成分及其性质•§5.3样本主成分的导出•§5.4有关问题的讨论•§5.5主成分分析步骤及框图•§5.6主成分分析的上机实现2020/1/222目录上页下页返回结束•主成分分析(PrincipalComponentsAnalysis)也称主分量分析，是由霍特林（Hotelling）于1933年首先提出的。•主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。•通常把转化生成的综合指标称之为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关。•这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，，同时使问题得到简化，提高分析效率。2020/1/223目录上页下页返回结束§5.1主成分分析的基本思想与理论§5.1.1主成分分析的基本思想§5.1.2主成分分析的基本理论2020/1/224目录上页下页返回结束§5.1.1主成分分析的基本思想考虑多个指标对某一问题进行分析的时候会产生如下问题：•为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标；•增多增加了问题的复杂性，同时由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免地造成信息的大量重叠，这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。基于上述问题，人们就希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。2020/1/225目录上页下页返回结束既然研究某一问题涉及的众多变量之间有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的共同因素，根据这一点，通过对原始变量相关矩阵或协方差矩阵内部结构关系的研究，利用原始变量的线性组合形成几个综合指标（主成分），在保留原始变量主要信息的前提下起到降维与简化问题的作用，使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。2020/1/226目录上页下页返回结束3.主成分保留了原始变量绝大多数信息4.各主成分之间互不相关1.每一个主成分都是各原始变量的线性组合2.主成分的数目大大少于原始变量的数目利用主成分分析得到的主成分与原始变量之间有如下基本关系：2020/1/227目录上页下页返回结束§5.1.2主成分分析的基本理论设对某一事物的研究涉及个指标，分别用表示，这个指标构成的维随机向量为。设随机向量的均值为，协方差矩阵为。对进行线性变换，可以形成新的综合变量，用表示，也就是说，新的综合变量可以由原来的变量线性表示，即满足下式：pppppppppXuXuXuXuXuXuYXuXuXuY2211p2222121212121111Y(5.1)2020/1/228目录上页下页返回结束由于可以任意地对原始变量进行上述线性变换，由不同的线性变换得到的综合变量的统计特性也不尽相同。因此为了取得较好的效果，我们总是希望的方差尽可能大且各之间互相独立，由于=而对任给的常数，有2020/1/229目录上页下页返回结束因此对不加限制时，可使任意增大，问题将变得没有意义。我们将线性变换约束在下面的原则之下：1．，即：2．3.是的一切满足原则1的线性组合中方差最大者；是与不相关的所有线性组合中方差最大者；…,是与都不相关的的所有线性组合中方差最大者。2020/1/2210目录上页下页返回结束基于以上三条原则决定的综合变量分别称为原始变量的第一、第二、…、第个主成分。其中，各综合变量在总方差中占的比重依次递减，在实际研究工作中，通常只挑选前几个方差最大的主成分，从而达到简化系统结构，抓住问题实质的目的。PYYY,,,21p2020/1/2211目录上页下页返回结束§5.1.3主成分分析的几何意义由第一节的介绍我们知道，在处理涉及多个指标问题的时候，为了提高分析的效率，可以不直接对个指标构成的维随机向量进行分析，而是先对向量进行线性变换，形成少数几个新的综合变量，使得各综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样，在以损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构，提高分析效率的目的。这一节，我们着重讨论主成分分析的几何意义，为了方便，我们仅在二维空间中讨论主成分的几何意义，所得结论可以很容易地扩展到多维的情况。2020/1/2212目录上页下页返回结束设有个样品，每个样品有两个观测变量，这样，在由变量组成的坐标空间中，个样品点散布的情况如带状，见图5-1。图5-12020/1/2213目录上页下页返回结束由图可以看出这个样品无论沿轴方向还是沿轴方向均有较大的离散性，其离散程度可以分别用观测变量的方差和的方差定量地表示，显然，若只考虑和中的任何一个，原始数据中的信息均会有较大的损失。我们的目的是考虑和的线性组合，使得原始样品数据可以由新的变量和来刻画。在几何上表示就是将坐标轴按逆时针方向旋转角度，得到新坐标轴和，坐标旋转公式如下：2020/1/2214目录上页下页返回结束其矩阵形式为：其中，为旋转变换矩阵，由上式可知它是正交阵，即满足2020/1/2215目录上页下页返回结束经过这样的旋转之后，个样品点在轴上的离散程度最大，变量代表了原始数据绝大部分信息，这样，有时在研究实际问题时，即使不考虑变量也无损大局。因此，经过上述旋转变换就可以把原始数据的信息集中到轴上，对数据中包含的信息起到了浓缩的作用。进行主成分分析的目的就是找出转换矩阵，而进行主成分分析的作用与几何意义也就很明了了。下面我们用遵从正态分布的变量进行分析，以使主成分分析的几何意义更为明显。为方便，我们以二元正态分布为例。对于多元正态总体的情况，有类似的结论。2020/1/2216目录上页下页返回结束设变量遵从二元正态分布，分布密度为:令为变量的协方差矩阵，其形式如下：令则上述二元正态分布的密度函数有如下矩阵形式：2020/1/2217目录上页下页返回结束考虑（为常数），为方便，不妨设又令为的特征值，为相应的标准正交特征向量.则为正交阵，有：2020/1/2218目录上页下页返回结束因此有：椭圆方程，主轴方向确定了主成分的坐标方向主成分分析的几何意义：主成分分析的过程无非就是坐标系旋转的过程，各主成分表达式就是新坐标系与原坐标系的转换关系，在新坐标系中，各坐标轴的方向就是原始数据变差最大的方向。2020/1/2219目录上页下页返回结束§5.2总体主成分及其性质由上面的讨论可知，求解主成分的过程就是求满足三条原则的原始变量的线性组合的过程。本节先从总体出发，介绍求解主成分的一般方法及主成分的性质，然后介绍样本主成分的导出。2020/1/2220目录上页下页返回结束主成分分析的基本思想就是在保留原始变量尽可能多的信息的前提下达到降维的目的，从而简化问题的复杂性并抓住问题的主要矛盾。而这里对于随机变量而言，其协方差矩阵或相关矩阵正是对各变量离散程度与变量之间的相关程度的信息的反应，而相关矩阵不过是将原始变量标准化后的协方差矩阵。我们所说的保留原始变量尽可能多的信息，也就是指的生成的较少的综合变量（主成分）的方差和尽可能接近原始变量方差的总和。在实际求解主成分的时候，总是从原始变量的协方差矩阵或相关矩阵的结构分析入手。一般地说，从原始变量的协方差矩阵出发求得的主成分与从原始变量的相关矩阵出发求得的主成分是不同的。。2020/1/2221目录上页下页返回结束证明：由引论知，对于任意常向量，有：又为标准正交特征向量，于是：证明：由引论知，对于任意常向量，有：又为标准正交特征向量，于是：此时：（5.3）结论：设随机向量的协方差矩阵为，为的特征值，为矩阵各特征值对应的标准正交特征向量，则第i个主成分为：结论：设随机向量的协方差矩阵为，为的特征值，为矩阵各特征值对应的标准正交特征向量，则第i个主成分为：pipiiiXXXY2211iiiiYγγ')var(0'),cov(jijiYYγγ§5.2.1总体主成分(一)从协方差矩阵出发求解主成分2020/1/2222目录上页下页返回结束由以上结论，我们把的协方差矩阵的非零特征值对应的标准化特征向量分别作为系数向量，分别称为随机向量的第一主成分、第二主成分、…、第主成分。的分量依次是的第一主成分、第二主成分、…、第主成分的充分必要条件是：XγXγXγ'''2211ppYYY，，，Xp（1），即为阶正交阵；（2）的分量之间互不相关；（3）的个分量是按方差由大到小排列。2020/1/2223目录上页下页返回结束于是随机向量与随机向量之间存在下面的关系式：（5.4）注：无论的各特征根是否存在相等的情况，对应的标准化特征向量总是存在的，我们总可以找到对应各特征根的彼此正交的特征向量。这样，求主成分的问题就变成了求特征根与特征向量的问题。2020/1/2224目录上页下页返回结束5.2.2主成分的性质性质1的协方差阵为对角阵。性质2记，有证明：记则有于是2020/1/2225目录上页下页返回结束定义5.1称为第个主成分的方差贡献率，称为主成分的累积贡献率。由此进一步可知，主成分分析是把个随机变量的总方差分解为个不相关的随机变量的方差之和，使第一主成分的方差达到最大，第一主成分是以变化最大的方向向量各分量为系数的原始变量的线性函数，最大方差为。表明了的方差在全部方差中的比值，称为第一主成分的贡献率。这个值越大，表明这个新变量综合信息的能力越强，也即由的差异来解释随机向量的差异的能力越强。ppiii12020/1/2226目录上页下页返回结束正因如此，才把称为的主成分。进而我们就更清楚为什么主成分的名次是按特征根取值的大小排序的。进行主成分分析的目的之一是为了减少变量的个数，所以一般不会取个主成分，而是取个主成分，取多少比较合适，这是一个很实际的问题，通常以所取使得累积贡献率达到85％以上为宜，即m(5.5)这样，既能使损失信息不太多，又达到减少变量，简化问题的目的。另外，选取主成分还可根据特征值的变化来确定。图5-2为SPSS统计软件生成的碎石图。2020/1/2227目录上页下页返回结束图5-2由图5-2可知，第二个及第三个特征值变化的趋势已经开始趋于平稳，所以，取前两个或是前三个主成分是比较合适的。这种方法确定的主成分个数与按累积贡献率确定的主成分个数往往是一致的。在实际应用中有些研究工作者习惯于保留特征值大于1的那些主成分，但这种方法缺乏完善的理论支持。在大多数情况下，当m=3时即可使所选主成分保持信息总量的比重达到85％以上。2020/1/2228目录上页下页返回结束定义5.2第个主成分与原始变量的相关系数称做因子负荷量。因子负荷量是主成分解释中非常重要的解释依据，因子负荷量的绝对值大小刻画了该主成分的主要意义及其成因。在下一章因子分析中还将要对因子负荷量的统计意义给出更详细的解释。由下面的性质我们可以看到因子负荷量与系数向量成正比。性质3（5.6）由性质3知因子负荷量与向量系数成正比，与的标准差成反比关系，因此，绝不能将因子负荷量与向量系数混为一谈。在解释主成分的成因或是第个变量对第个主成分的重要性时，应当根据因子负荷量而不能仅仅根据与的变换系数。ikkYiXkiu2020/1/2229目录上页下页返回结束性质4（5.7）证明：由性质3有（5.8）性质5证明：因为向量是随机向量的线性组合，因此也可以精确表示成的线性组合。由回归分析知识知，与的全相关系数的平方和等于1，而因为之间互不相关，所以与的全相关系数的平方和也就是，因此，性质5成立。2020/1/2230目录上页下页返回结束定义5.3与前个主成分的全相关系数平方和称为对原始变量的方差贡献率，即（5.9）这一定义说明了前个主成分提取了原始变量中的信息，由此我们可以判断我们提取的主成分说明原始的能力。2020/1/2231目录上页下页返回结束5.2.3从相关阵出发求解主成分考虑如下的数学变换：令：其中，与分别表示变量