3高考复习指导讲义 第三章 不等式

高考复习指导讲义第三章不等式一、考纲要求1.明确不等式的意义，掌握不等式的主要性质，并能正确灵活地应用这些性质解决问题.2.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法的基础上掌握高次不等式和分式不等式的解法.3.掌握一些简单的无理不等式的解法.4.掌握一些简单绝对值不等式的解法.5.掌握一些简单指数与对数不等式的解法.6.能利用分类讨论的方法解含参数的不等式.7.掌握不等式的证明，掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法、反证法、换元法、判别式法.8.掌握二个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理.9.理解不等式｜a｜－｜b｜≤｜a＋b｜≤｜a｜＋｜b｜二、知识结构1.不等式的基本概念.(1)两个实数a与b之间具有以下性质；如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a-b等于零，那么a＝b，反过来也对.即：a-b＞0a＞ba-b＝0a＝ba-b＜0a＜b(2)同解不等式：如果第一个不等式的解都是第二个不等式的解；并且第二个不等式的解也都是第一个不等式的解，那么这两个不等式叫做同解不等式.2.不等式的性质(1)基本性质①a＞bb＜a(对称性)②a＞b，b＞ca＞c(传递性)③a＞ba+c＞b+c(加法单调性)④a＞b，c＞0ac＞bca＞b，c＜0ac＜bc(乘法单调性)(2)运算性质①a＞b，c＞da＋c＞b+d(同向不等式相加)②a＞b，c＜da－c＞b－d(同向不等式相减)③a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd(同向不等式相乘)④a＞b＞0，0＜c＜dca＞db(同向不等式相除)⑤a＞b＞0na＞nb(nZ，且n＞1)(开方法则)⑥a＞b＞0an＞bn(nZ，且n＞1)(乘方法则)3.重要的基本不等式(1)若aR，则｜a｜≥0，a2≥0(2)若a、bR，则a2+b2≥2ab(3)若a、bR+，则2ba≥ab(当且仅当a=b时等号成立)(4)若a、b、cR+，则3cba≥33abc(当且仅当a=b=c时等号成立)(5)a＞0时｜x｜＞ax2＞a2x＜-a或x＞a｜x｜＜ax2＜a-a＜x＜a(6)若a、bR，则｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜4.解不等式的基本思想是化归为一元一次或一元二次不等式，主要依据是不等式的基本性质，要特别注意等价转化.f(x)＞a２a≥0时，f(x)＞af(x)≥0①f(x)＞aa＜0时，f(x)＞af(x)≥0f(x)＜a２a＞0时，f(x)＜af(x)≥0②f(x)＜aa≤0时，xf(x)≥0③f(x)＞g(x)g(x)≥0f(x)＞g(x)f(x)≥0f(x)≥0④f(x)＞g(x)g(x)≥0或f(x)＞［g(x)］２g(x)＜0f(x)≥0⑤f(x)＜g(x)g(x)≥0f(x)＜［g(x)］２(6)指数不等式：转化为代数不等式.af(x)＜ag(x)(a＞1)f(x)＜g(x)；af(x)＜ag(x)(0＜a＜1＝f(x)＞g(x)；af(x)＜b(a＞0，b＞0，a≠b)f(x)·lga=lgb(7)对数不等式，转化为代数不等式.logaf(x)＜logag(x)(a＞1)0＜f(x)＜g(x)logaf(x)＜logag(x)(0＜a＜1＝f(x)＞g(x)＞0(8)含有绝对值符号不等式｜f(x)｜＜a(a＞0)-a＜f(x)＜a｜f(x)｜＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜-a另外，对于含有参数的不等式，要能正确地运用分类讨论方法求解.5.证明不等式不等式的证明的方法很多，主要应掌握比较法、分析法与不等式的解法(1)一元一次不等式ax＞b①a＞0时，解集为｛x｜x＞a｝②a＜0时，解集为｛x｜x＜a｝③a=0时，(ⅰ)b≥0，解集为Φ；(ⅱ)b＜0，解集为R(2)一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是二次三项式ax2+bx+c=0的两实根，且x1＜x2ax2+bx+c＞0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c＜0ax2+bx+c≤0Δ＞0{x｜x＜x1或x＞x2＝{x｜x≤x1或x≥x2}{x｜x1＜x＜x2｝｛x｜x1≤x≤x2｝Δ＝0{x｜x≠-ab2xR}RФ｛x｜x=-ab2｝Δ＜0RRΦΦ(3)简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：①将f(x)的最高次项的系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.(4)分式不等式：先整理成一般形式)()(xgxf＞0或)()(xgxf≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(xgxf＞0f(x)·g(x)＞0f(x)·g(x)＞0)()(xgxf≥0(或f(x)=0或f(x)·g(x)＞0)g(x)≠0然后用“根轴法”或化为不等式组求解.类型解集(5)无理不等式：转化为有理不等式求解，常见类型有数学归纳法，另外，对反证法，放缩法和判别式法利用函数单调性等方法也应明确.A.比较法：a.求差比较法：a＞ba-b＞0；a＜ba-b＜0；a=ba-b=0b.求商比较法：b＞0，ba＞1a＞b；b＜0，ba＞1a＜b步骤：作差(或商)—变形—判断.B.综合法利用某些已经证明的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所求证的不等式，这种证明方法叫综合法.综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个(组)已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证的不等式.常用性质有：a.(a+b)２≥0；b.若a、bR，a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)；c.若a＞0，b＞0，c＞0，则有：a+b≥2ab(当且仅当a=b时取等号)；a+b+c≥33abc(当且仅当a=b=c时取等号)；a３+b３+c３≥3abc(当且仅当a=b=c时取等号).C.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题.如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法，分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止.6.不等式的应用利用不等式求最值，主要利用公式nn21aaa≥nn21aaa，其中ai＞0(i=1,2,…n)(1)当a1+a2+…+an=m（常数）时，乘积a1·a2…an有最大值，其最大值为(nm)n，当且仅当a1=a2=…＝an时取最大值.(2)当a1·a2…an＝N(常数)时，和a1+a2+…+an有最小值，其最小值为nN，当且仅当a1=a2=…=an时取最小值.利用此公式求最值，必须同时满足下面三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.利用此公式求最值，只需掌握n=2，3时的情形.三、知识点、能力点提示(一)“相等”与“不等”的关系“相等”和“不等”是现实世界物质形式中量与量的两种重要的关系，它们是相互关联，相互依存的，在一定的条件下，互相转化.在数学学习过程中，要注意“相等”与“不等”的相互关系，抓住实质性联系，通过“相等”与“不等”的转化，找到解决问题的途径，达到解决问题的目的.为便于说明，举例如下：1.“相等”与“不等”相互转化.a)“相等”向“不等”的转化例1在ΔABC中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：3≤B＜2.这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA·tgctg2B=tgA·tgctgB=tg(π-(A+C))=-Btg21tgCtgA∴tgA+tgC=tgB(tg2B－１)∵tgA+tgC≥2tgCtgA=2tgB即tg2B-1≥2∴tgB≥3∵B≥3……这里，抓住了tg2B=tgA·tgC这一相等关系及tgB=-tgCtgA1tgCtgA隐含关系.通过tgA+tgC≥2tgCtgA这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论.b)“不等”向“相等”的转化.ⅰ)由实数理论知：若a≥b且a≤b则必有a=b，这是由“不等”变为“相等”的典型模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2≥0可以导出(x-y)２＝0ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y＞0y＞-x可含y=-x+t，这里t＞0，从而把x,y的“不等”关系转化为某种“相等”关系.例2已知a、b、cR，函数f(x)=ax２＋bx+c，g(x)=ax+b，当-1≤x≤1时，f(x)≤1(1)证明：｜c｜≤｜(2)证明：当｜x｜≤1时，｜g(x)｜≤2(3)设a＞0，当｜x｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.已知告诉我们：对一切x［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a、b、c相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.简解如下：∵a＞0，∴g(x)=ax+b是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max=g(1)即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0)①∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1∴c=f(0)=-1∵当-1≤x≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-ab2=0，即b=0代入①得a=2∴f(x)=2x2-12.“相等”与“不等”的构造从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：途径：①利用重要不等式：ⅰ)a2+b2≥2abⅱ)a、b、cR＋，a+b≥2ab，a+b+c≥33abcⅲ)ab+ba≥2(a、b＞0)等等②利用函数单调性：f(x)是区间I上的增函数，若x1、x2I，则f(x２)＜f(x１)；f(x)是区间I上的减函数，若x1、x2I，则f(x1)＞f(x2)；③利用等量关系中的隐含条件，如x２-１≥0｜x｜≤ay=1-x2x2+y2=a2y≥0｜y｜≤a例3已知a、bR且a21b+b21a=1，求证a2+b2=1这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：证明：∵a21b≤2b-1a22b21a≤2a-1b22两式相加得a21b+b21a≤1又已知a21b+b21a=1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b,b=21a∴a2+b2=1例4求满足(x2+2x+3)(y2+1)=2的实数x,y解：∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2y2+1≥1∴(x2+2x+3)(y2+1)≥2当且仅当x2+2x+3=2,y2+1=1时成立解之得x=-1且y=0b)在“不等”关系中构造“相等”关系.x=rcosθ途径：①设元构造.例：x2+y2≤1(0≤r≤1)y=rsinθ②数形结合，构造函数(或