4 数理方程第四章 行波法

第四章行波法第四章行波法我们已经熟悉常微分方程的求解，一般是先求方程的通解，再用初始条件去确定通解中的任意常数而得到特解。因此我们也想仿照这个方法来求解偏微分方程的定解问题。即先求偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。但是偏微分方程的通解不那么容易求，用定解条件确定函数往往更加困难，通过分析，我们发现这种方法主要适用于求解（元界区域的）齐次波动方程的定解问题。齐次波动方程反映介质一经扰动在区域里不再受到外力的运动规律。如果问题的区域是整个空间，由初始扰动所引起的振动就会在一往无前地传播出去，形成行（进）波。故我们把这种主要适用于求解这类行波问题的方法称为行波法。本章将介绍这种方法。适用范围：无界域内波动方程，等…0122222utax0122utax011utaxtax2013/10/16222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu2222][)(21)()(21解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222][atxatxsatxatxeee222[][21)()(212)(atxe11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata5达朗贝尔公式的应用11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata1xx2xt2xxat影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t(,)PxtxatC特征线特征变换行波法又叫特征线法atxatx6相关概念22222(,),,0(,0)(,0)(),(),uuafxtxttxuxuxxxxt7非齐次问题的处理222112211,,0(,0)(,0)(),(),uuaxttxuxuxxxxt222222222(,),,0(,0)(,0)0,0,uuafxtxttxuxuxxt利用叠加原理将问题进行分解：12uuu111(,)()()()d22xatxatuxtxatxata222222222(,),,0(,0)(,0)0,0,uuafxtxttxuxuxxt22222,,(,)(,)0,(,),axttxxxfxxt利用齐次化原理，若满足：则：20(,)(,,)dtuxtxt令：1tt22212211,,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxfxxt22212211,,0(,0)(,0)0,(,),axttxxxfxxt11()1()11(,)(,)d(,)d22xatxatxatxatxtffaa20()0()(,)(,,)d1(,)dd2ttxatxatuxtxtfa从而原问题的解为()0()11(,)()()()d221(,)dd2xatxattxatxatuxtxatxatafa0)(22222yuAByxuBAxuyAxyBxxuxuxuxuBuAxuBuAxu22yuyuyuyuuyuuyu22yuBuAyuBuAyxu222222)(yuAByxuBAxu222222222222222222()()2uuuuuuAABBABAABBuuuABuBA22)(uBuA22222222uBuABuAuu222222uuu22222)(uBuBAuA0)(22222yuAByxuBAxuAxyBxy02u22(d)()dd(d)dddd0yABxyABxyAxyBx044222BAABBAacb022222yuaxu222(d)(d)0yax04)(140222aa双曲型方程02222yuxu22(d)(d)0yx011402椭圆型方程222xuatu0014022(d)0y抛物型方程2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy22(d)2dd(d)0AyBxyCx特征方程