7-2 闭区间上连续函数的性质

返回后页前页§2闭区间上连续函数的性质实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理经在第四章给出过.明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾三、一致连续性定理二、介值性定理返回返回后页前页首先来看一个常用的定理.有界性定理若f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)[,].ab在上有界证用两种方法给出证明.第一种方法使用有限覆盖定理.因为f(x)在[a,b]一、最大、最小值定理局部有界的性质化为整体有界性质.上每一点连续,从而局部有界.我们的任务就是将返回后页前页[,],0,0,tttabM对于任意的存在以及(,)[,],ttxttab当时|()|.tfxMH覆盖了闭区间[a,b].由有限覆盖定理,在H中存1111(,),,(,)nnttntnttttt[,],,1,xabiin于任意存在使{(,)|[,]},tttttabH设开区间集显然12[,].max{,,,},ntttabMMMM覆盖了令则对在有限个开区间返回后页前页第二种证法采用致密性定理.因为{xn}有界,从而存在一个收敛的子列.为了书写方便,不妨假设{xn}自身收敛,令0lim.nnxx(,),|()|.iiiitittxttfxMM因此设f(x)在[a,b]上无界,不妨设f(x)无上界.则存在lim().nnfx{}[,],nxab使返回后页前页00,.(),naxbaxbfxx因则又因在连续故由归结原理可得00lim()lim()(),nnxxfxfxfx矛盾.最大、最小值定理(定理4.6)若函数f(x)在[a,b]证f(x)在[a,b]上连续,因而有界.由确界定理,f(x)在[a,b]上的值域有上确界.设上连续,则f(x)在[a,b]上取最大、最小值.返回后页前页[,]sup().xabMfx:([,]).,Mfab要证若不然则对于任意[,],xab1()()FxMfx()fxM，于是在[a,b]上连续,从而有界,故存在G0,使10().()FxGMfx这样就有返回后页前页1(),[,].fxMxabG这与M是f(x)在[a,b]上的上确界矛盾.这就证明了上确界M与下确界m都是可取到的,同理可证:下确界[,]inf()xabmfx也属于f([a,b]).最小值.这也就是说,M与m是f(x)在[a,b]上的最大、返回后页前页(定理4.7)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且,(,),ab实数则存在使证在第四章中,我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明.()(),()[,],FxfxFxab设则在上连续并且二、介值性定理f().()()fafb若是介于与之间的一个f(a)f(b).返回后页前页将[a,b]等分成两个区间[a,c],[c,b],若F(c)=0,.0)()(bFaF下去,得到一列闭子区间个区间的端点上的值异号.将这个过程无限进行F(c1)=0,已证.不然同样可知函数F(x)在其中一将[a1,b1]等分成两个区间[a1,c1],[c1,b1],若间端点上的值异号,将这个区间记为[a1,b1].再已证.不然,函数F(x)在这两个区间中有一个区返回后页前页11(i)[,][,],1,2,;nnnnababn(ii)0,;2nnnbaban(iii)()()0.nnFaFb由区间套定理,存在惟一的[,],1,2,,nnabnlimlim.()nnnnabFx并且因为在点连续,20lim()()(()),nnnFaFbF所以()0.:F即这也就是说.)(f{[an,bn]},满足:返回后页前页(定理4.9)若函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在证(证法一)首先用致密性定理来证明该定理.在设f(x)在[a,b]上不一致连续,即存在对于,000(),,[,],xxab一切无论多么小总是存在三、一致连续性定理[a,b]上一致连续.究.下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探返回后页前页||,xx虽然但0|()()|.fxfx现分别取111111,,[,],||1,xxabxx110|()()|;fxfx222211,,[,],||,22xxabxx220|()()|;fxfx……返回后页前页11,,[,],||,nnnnnxxabxxnn0|()()|;nnfxfx{},{}[,],nnxxab由此得到两列虽然1||0,nnxxn0|()()|.nnfxfx因为{x'n}有界,从而由致密性定理,存在{x'n}的kknnkxxx0{}.lim.一个收敛子列设.但是总有返回后页前页,bxakn因为所以由极限的不等式性质.0bxa连续,所以由归结原理得到0lim|()()|kknnkfxfx矛盾.(证法二)再用有限覆盖定理来证明.00|lim()lim()|0,xxxxfxfx0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx因为以及f返回后页前页0,0,(;)[,]xxxUxab给存在当时有|()()|.2fxfx考虑开区间集{(;)|[,]},2xHUxxab那么H是[a,b]的一个开覆盖.由有限覆盖定理,因f(x)在[a,b]上连续,对任意一点[,],xab任存在有限个开区间返回后页前页1min0,2iin令对于任何,[,],xxab只要,||xx那么x必属于上述n个小区间中的一个,,.22iiiixxx设于是1111(,),,(,)2222nnnnxxxx也覆盖了[a,b].||,2iiixx返回后页前页所以由小区间的定义得知|()()||()()||()()|iifxfxfxfxfxfx这就证明了)(xf在[a,b]上的一致连续性.||||||,2iiiixxxxxx,22