7-2一阶微分方程的常见类型及解法

7.2一阶微分方程的常见类型及解法7.2.1可分离变量的微分方程7.2.2齐次方程7.2.3一阶线性微分方程7.2.4可用简单变量代换法求解的方程27-1定义7.2.1形如d()()dyfxgyx，(7.2.1)或1122()()d()()d0MxNyxMxNyy(7.2.2)的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程．7.2.1可分离变量的微分方程设()0gy，将方程式（7.2.1）化为变量分离的方程d()d.()yfxxgy(7.2.3)若f与g都是连续函数，两边积分，得d()d()yfxxgy．(7.2.4)2020/1/2227-2设Gy及Fx分别为1()()fxgy及的原函数，则有()()GyFxC.(7.2.5)将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的,xy之间的隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3），且式（7.2.5）含有一个任意常数C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．注1：这种通过分离变量来解微分方程的方法称为分离变量法．式(7.2.2)用分离变量法类似可解．注2：在上述方法中，受到()0gy的前提假设，如果扩大任意常数C的取值范围，则可使()0gy的解仍包含在通解中．2020/1/2227-3例7.2.1求微分方程d(1)dyyxxx满足初始条件11xy的特解．解该方程是可分离变量的微分方程．设0y，分离变量得d1dyxxyx,(7.2.5)两边积分，得1ln||lnyxxC，从而1eeCxyx．令1eCC，则C是任意的非零常数．注意到0y也是原方程的解，且若允许取0C则此解也包含在其中．因此所求方程的通解可写成e,xyCx其中C是任意常数．由初始条件11xy，得eC，故所求特解为1exyx．注：为简化计算，在用分离变量法求解时可不考虑()gy是否为零．2020/1/2227-4例7.2.2设质量为m的物体在某种介质内受重力G的作用自由下坠，其间还受到介质的浮力B与阻力R的作用.已知阻力R与下坠的速度v成正比，比例系数为λ，即Rv.试求该落体的速度与位移的函数关系．解物体在下坠过程中所受到的合力为FGBR．设x轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间t，物体的位移为xxt，速度为()vvt，故00|0,|0ttxv．设x轴铅直向下，原点是物体开始下坠时的位置，如果经过时间t，物体的位移为xxt，速度为()vvt，故00|0,|0ttxv．由牛顿第二定律得ddvmGBvt，即ddvGBvtm．但上式反映的是速度与时间的关系，并没有直接反映速度与位移的联系．2020/1/2227-5续解为了得到速度与位移的关系，将ddvt表示成ddddddddvvxvvtxtx，故微分方程化为ddvGBvvxm．分离变量后化为ddvvxGBvm，两边积分，得2ln()vGBxGBvCm．由初始条件00|0,|0ttxv得0|0xv，代入上式，得2ln()GBCGB，故该落体的速度与位移的函数关系为2ln()vGBGBvxGBm．2020/1/2227-6定义7.2.2形如d()dyyxx(7.2.6)的一阶微分方程称为齐次方程．例如dlndyyyxxx是齐次方程．7.2.2齐次方程22d(2)d0yxxxyy也是齐次方程．这是因为可将方程化为22dd2yyxxyx，进而2()dd2yyxyxx．2020/1/2227-7在齐次方程式(7.2.6)中，我们通过引进新的未知函数（变量代换）yux，把式(7.2.6)化为可分离变量的方程．这是因为由yux得yux，于是ddddyuuxxx，将其代入式(7.2.6)，得到d()duuxux．这是可分离变量的微分方程．当()0uu时，分离变量后积分得dd()uxuux．记()Fu为1()uu的一个原函数，则得()ln||FuxC，所以齐次方程(7.2.6)的通解为()ln||yFxCx．2020/1/2227-8例7.2.3求微分方程22d(2)d0yxxxyy的通解．解原方程可化为齐次方程2()dd2yyxyxx，(7.2.7)令yux，得2d,d2uuuxxu即d2d2uuxxu．分离变量得11d()d2xuux．积分得1ln||ln||2uuCx，即1ln||2uxuC．代回yux，整理，得原方程通解为ln||2yyCx．2020/1/2227-9例7.2.4在xOy平面上有一曲线L，曲线L绕x轴旋转一周，形成一旋转曲面，假设由O点发出的光线经此旋转曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行（见图7-2-1），求曲线L的方程．解设O点发出的某条光线经L上一点,Mxy反射后是一条与x轴平行的直线MP．又设过M点的切线AT与x轴的倾角是．由题意，PMT，由光学反射定律有OMAPMT，故AOOM．又cotyANONMNNAOOxy，而22OMxy，得微分方程22yxxyy，即22d()dyxxxyy．图7-2-12020/1/2227-10续解这里将y为自变量，x为未知函数.由曲线L的对称性，我们可以在0y的范围内求解．这时上式可化为2d()1dxxxyyy．这是齐次方程．令xvy，则xyv，有ddddxvvyyy，代入上式，得2d1dvvyvvy，得2dd1vyyv．积分得2ln(1)lnlnvvyC，即21yvvC．以xvy代入得通解22()2CyCx．由此可见，该曲线是以x轴为对称轴，焦点在原点的抛物线．2020/1/2227-11定义7.2.3形如d()()dyPxyQxx(7.2.8)的微分方程称为一阶线性微分方程．如果()0Qx，则方程（7.2.8）变为d()0dyPxyx，(7.2.9)称为一阶齐次线性微分方程．7.2.3一阶线性微分方程如果()Qx0，称方程（7.2.8）为一阶非齐次线性微分方程．也称方程(7.2.9)为对应于一阶非齐次线性微分方程(7.2.8)(()Qx0)的齐次方程．2020/1/2227-12对于一阶齐次线性微分方程d()0dyPxyx．显然它是可分离变量的微分方程，通过分离变量法，得到通解()dePxxyC．(7.2.10)对于一阶非齐次线性微分方程d()()dyPxyQxx，我们可用所谓的“常数变易法”来求出它的通解，具体做法如下.假设d()()dyPxyQxx有形如()d()e.PxxyCx(7.2.11)的解，这里()Cx为函数，并非常数．则()d()dde()()e.dPxxPxxyC(x)CxPxx(7.2.12)把式（7.2.11）、式（7.2.12）代入d()()dyPxyQxx，得()d()()ePxxCxQx2020/1/2227-13积分得()d()()edPxxCxQxxC．(7.2.13)将式（7.2.13）代回式（7.2.11），得方程d()()dyPxyQxx的通解()d()de[()ed]PxxPxxyQxxC，(7.2.14)或()d()d()dee()edPxxPxxPxxyCQxx．(7.2.15)注1：从式（7.2.15）可以看出，一阶非齐次线性微分方程的通解可以表示为对应的一阶齐次线性微分方程的通解与非齐次方程本身的一个特解之和．后面将介绍这个结论对于高阶非齐次线性微分方程也成立．注2：当()0Qx时，式(7.2.14)即为式(7.2.10)，可见一阶齐次线性微分方程的通解也包含在式(7.2.14)之中．2020/1/2227-14注3：式(7.2.10)和(7.2.14)的所有不定积分中不再含有任意常数．例7.2.5求微分方程sincoselnxyyxx的通解．解这是一阶非齐次线性微分方程，其中sin()cos,()elnxPxxQxx，由通解公式（7.2.14）得该方程的通解为cosdcosdsinsine[elned]e[lnd]xxxxyxxCxxCsine(ln)xxxxC．例7.2.6求微分方程2(e)dd0xyxxxy的通解．解原方程可化为1exyyxx,是一阶非齐次线性微分方程．通解为11ddlnlne(eed)e(eed)xxxxxxxxyxxCxxC.为了计算简便,上式中的lnx可用lnx代替，故原方程通解为lnlne(eed)(e)xxxxyxxCxC．2020/1/2227-15例7.2.7求微分方程32dd12yyxxy的通解．分析显然该方程既不是可分离变量微分方程，也不是齐次方程，更不是未知函数y的一阶线性微分方程．解由于3d21dxxyyy，由通解公式（7.2.14）的类似形式，我们得原方程的通解为22dd2ln2ln332111e(ed)e(ed)(lnC)yyyyyyxyCyCyyyy．但是只要我们把它改写为23d12dxxyyy，即3d21dxxyyy．可见上式为把y看作自变量，x看作未知函数的一阶非齐次线性微分方程．2020/1/2227-16例7.2.8已知(1)函数()(0)yfxx满足条件(0)0f和0()e1xfx；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线()yfx和e1xy分别相交于点1P和2P；(3)曲线()yfx与直线MN及x轴所围图形面积的数值恒等于线段12PP的长度.求()yfx的表达式．解由题意，我们画出示意图7-2-2.图7-2-22020/1/2227-17续解根据题设条件，得0()de1()xxfxxfx．两边求导，得()e()xfxfx，即()()exfxfx．图7-2-2这是一阶非齐次线性微分方程．其通解为1()e(eed)ee2xxxxxfxxCC．由(0)0f得12C，故所求函数为1()(ee)sh2xxfxx．2020/1/2227-187.2.4可用简单变量代换法求解的方程在实际问题中，常遇到不是形如上面提到的几种类型的微分方程，但往往可通过适当的变形或变量代换把它们化为上述的形式.事实上齐次方程也是通过变量代换化为可分离变量的微分方程然后求解的．(一)可化为齐次方程的方程下面我们再介绍几类可用简单变量代换法求解的方程.2020/1/22形如111ddyaxbycfxaxbyc(7.2.16)的方程可化为齐次方程，其中111,,,,,abcabc都是常数.当10cc时，方程（7.2.16）就是齐次方程.当1,cc不全为零时，可通过变换,xXyY把方程（7.2.16）化为齐次方程．27-19例7.2.9求微分方程d2d4yxyxxy的通解．解设,xXyY，代入原方程得d2d4YXYXXY，代入并分离变量，得21dd1uXuuX，两边积分，得21arctanln(1)ln||ln2uuXC，即arctan22eYXXYC．代回原来的变量，得原方程的通解为1arctan223(3)(1)eyxxyC．令20,40,解得3,1．因此变换3,1xXyY把原方程化为齐次方程ddYXYXXY．再令YuX，则YuX，故ddddYuuXX．2020/1/2227-20(二)伯努利(Bermoul