fredholm积分方程

积分方程数值求解正问题的研究从内容上讲是由原因到结果，由本质到现象，比较成熟。反问题则往往是由果求因，由表及里，由现象到本质，它的研究较正问题的起步和发展晚一些。可是反问题的研究不仅具有重大的科学创新意义，而且具有一定的现象意义和应用价值。下面我们考虑一类具体的反问题模型，以函数f=f(x)表示原因，经过算子A的作用产生的结果记为g=g(y)，即有如下的关系：g=Af那么，一般而言，已知A及函数f，求解g的问题是正问题；而由A和g来反推f，或根据f和g来构建A的问题则为反问题。根据积分的思想，可以将此类问题转化为积分方程的形式。积分方程有各种不同的类型，不同类型方程的理论及解法也有很大差异。这里我们介绍几种常见的积分方程类型：1第一类Fredholm积分方程，具有形式如下：(,)()(),(1)bakxsysdsfxaxb其中核函数(,)kxs和自由项()fx为已知函数，()ys是未知函数。此类积分方程虽然形式简单，但其求解却比较困难，所以这类方程在下文将做详细介绍。2第二类Fredholm积分方程，具有如下的形式：()(,)()(),bayxkxsysdsfxaxb(2)其中(,)kxs称为积分方程的核，()fx称为自由项，为参数，,(,),()kxsfx均为已知，而()yx为未知函数。求积分方程(2)的解()yx的数值方法就是在区间[a,b]的某些点(1,2,,)ixin上求()iyx的近似值iy，使得误差()iiyxy满足精度要求。3第一类Volterra积分方程，具有形式如下：(,)()(),(3)xakxsysdsfxaxb就像第一类Fredholm积分方程和第二类Fredholm积分方程的差别一样，第一类Volterra积分方程和第二类Volterra积分方程的差别就在于第一类Volterra积分方程的未知函数仅出现在积分号内。4第二类Volterra积分方程，具有如下形式：()(,)()(),xayxkxsysdsfxasxb(4)其中，(,)kxs为积分方程的核，定义在asxb上，()fx为自由项，定义在asxb上，为参数。,(,),()kxsfx均为已知，而()yx为未知函数。从(3)式可以看出，第二类Volterra积分方程和第二类Fredholm积分方程的区别在于积分限，第二类Volterra积分方程的积分上限是变量，而第二类Fredholm积分方程上限是常量。5非线性的Frdholm型与Voltrra型积分方程，具有形式如下：11()()(,)[()](5)myxgxKxsysds和1()()(,)[()](6)xmyxgxKxsysds其中，设g是定义在[-1,1]上的连续函数，(,)Kxs是定义在[1,1][1,1]上的连续函数，m是一个正整数。了解了几种类型的积分方程各自具有的形式之后，我们以第一类Fredholm积分方程为例进行数值求解。第一类Fedholm积分方程广泛存在于自然科学与工程技术的各个领域中。第一类Fredholm积分方程一个突出的特性就是“不适定”性。这一性质就导致了这一类方程求解的难度增加许多。所以，在求解这一类方程时，需要明白如下的问题：1.积分方程的相关概念；2积分方程的不适定性；3积分算子的离散化；大量的数学物理反问题都可以转化为第一类Fredholm积分方程的求解问题。针对这一问题，在这里我们只讨论其数值解法，即方程的近似求解问题。一般而言，这一类方程都是不适定的，即具有病态性。所谓病态性（或不适定性），指解的存在性、唯一性、稳定性三者之中至少其一不满足。这里主要指解的稳定性不被满足，即右端数据的微小扰动将导致解的无穷大变化。因此，我们说这一类方程是病态的。一维第一类fredholm积分方程的一般形式为其中核函数K(x,y)和自由项g(x)为已知函数，f(y)为未知函数。离散积分方程的数值方法有很多种，比如可以用复化梯形公式、复化辛普森公式等，这里我们利用复化梯形公式来进行离散。复化梯形公式的形式如下：下面具体给出复化梯形公式对积分方程的一般离散过程。(,)()()bakxyfydygx)]()(2)([2)(1bfxfafhdxxfnkkba复化梯形公式对积分方程的具体离散过程：然后利用梯形求积公式对积分项进行数值积分，即将区间等分为n份，步长为得到以下式子：120111(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()ininbyyayyyyyykxyfydykxyfydykxyfydykxyfydykxyfydy,ab12011100111111(,)()(,)()(,)()(,)()(,)()[(,)()(,)()][(,)()22(,)()][(,)()(,)2ininbyyayyyyyyiiiinnnkxyfydykxyfydykxyfydykxyfydykxyfydyhhkxyfykxyfykxyfyhkxyfykxyfykxyf200112()]()(,)()121[(,)()(,)()(,)()21()(,)()](,)()212()[,]niinnyhbakxfhkxyfykxyfykxyfyhbakxyfykxfgxab最后对变量x进行离散，将区间等分为n份步长为同时忽略积分公式误差项：其中i=0,1,2,....,n得到线性方程组其中00111()[(,)()(,)()(,)()21(,)()]2iiiiiiinngxhkxyfykxyfykxyfykxyfynngAf01(),(),,()TnnffyfyfyTnnxgxgxgg)](,),(),([10,ab00010101110111(,)(,)(,)2211(,)(,)(,)2211(,)(,)(,)22nnnnnnkxykxykxykxykxykxyAhkxykxykxy再对上述方程进行数值求解，即可。例10(,)()()Axyfydygx01xxyeyxA),(11()1xegxx()yfye先将该问题离散成Ax=b的形式，可以为其提供离散的数值解，当n=5时，离散后就生成一个5阶的矩阵。（附程序）其中真解为