浅谈三角形面积公式证明平面几何问题

学科代码：070101贵州师范大学求是学院（本科）毕业设计浅谈三角形面积公式证明平面几何问题系别：理学系专业：数学与应用数学班级：2010级1班学号：102023010035学生姓名：李又春指导教师：邓伦治（教授）完成时间：2013年11月独创性声明本人郑重声明：所呈交的题为《浅谈三角形面积公式证明平面几何问题》的毕业设计是本人在指导老师指导下取到的研究成果。除了文中特别加以注释和致谢的地方外，设计中不包含其他人已经发表的研究成果。与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在设计中作了明确的说明并表示了谢意。学生签名：年月日授权声明本人完全了解了贵州师范大学求是学院有关保留、使用本科生毕业设计的规定，即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业设计的复印件和磁盘，允许毕业设计被查阅和借约。本人授权许贵州师范大学求是学院可以将毕业设计《浅谈三角形面积公式证明平面几何问题》全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编设计。学生签名：指导教师签名：年月日浅谈三角形面积公式证明平面几何问题摘要：面积是几何图形的重要属性，它与线段、角之间有着密切的联系.因此这篇文章总结了应用三角形面积公式解或证明几何的一些题目，从中体现了运用三角形面积公式解题的优点.关键词：三角形面积公式；线段；角；不等式MainlyTalksabouttheTriangleAreaofFormulatoProvePlaneGeometryABSTRACT:Areaisanimportantattributeofgeometry;ithasthecloserelationLineandAngle.Therefore,thisarticlesummarizestheapplicationoftriangleareaformulawithsolutionorprovethatsometopicsofthegeometry,itembodiestheadvantagesofusingtriangleareaformulaproblemsolving.Keywords:Theareaofatriangleformula；Segment；Angle；Inequality目录前言.................................................-1-1.三角形面积公式及其求解特点........................-1-1三角形的面积公式.........................................-1-2三角形面积公式推导.......................................-2-2.1三角形面积公式12ABCahS的推导........................-2-2.2三角形面积公式111sinsinsin222ABCabCacBbcAS推导..-2-3运用三角形面积公式解决平面几何问题特点...................-3-2.应用三角形的面积公式解或证明几何题................-3-1运用三角形的面积公式证明线段之间的关系...................-3-2运用三角形的面积公式证明角之间关系.......................-4-3应用三角形的面积公式证明比例式...........................-6-4三角形面积证明几何不等式.................................-8-3.综合运用三角形的面积公式..........................-9-4.总结.............................................-12-参考文献............................................-13-致谢..............................................-14--1-浅谈三角形面积公式证明平面几何问题前言随着基础教育课程改革的深入实施，力求提高解题教育在数学教育中的作用已经成为现代数学教学理念的一个特点.我们知道，很多几何题、三角形题、代数题在解法上各有自己的规律.掌握了这些规律，在解题过程中将会遇到很多方便.然而数学题的解法毕竟是千变万化的，有些数学题如果光是按照常规的方法去解，有时将会显得复杂和繁琐，我们在解题过程中应该有灵活多变的能力.有些数学题，尤其是几何题和三角形题，如果根据图形的性质，恰当地运用三角形的面积公式，结合使用三角形法，则将会显得简单、明了和直观.因此，在解题过程中，巧妙地运用三角形的面积公式，有时会有特殊的功效，甚至起到事半功倍的作用.运用三角形的面积法解题，主要是从图形的性质出发，利用面积找出图形中边、角关系或者利用相似三角形的面积比的性质，帮助我们建立等量关系，从而达到求解的目的.面积是几何图形的重要属性，它与线段、角之间有着密切的联系.因此我们在求解几何问题的时候，根据几何量与涉及的三角形面积之间的内在联系，用三角形的面积表示有关几何量，从而把要论证的几何量之间的关系化为有关三角形面积之间的关系.利用面积能构建图形中某些线段之间的联系，正因为可以用面积法来解决线段、角、比例式等多种类型的非面积的几何问题.其关键是要根据题目的特点、分析图形结构，找出图形与三角形面积之间的联系.本文我主要是从以下几个方面论述的，首先讲解一些三角形的面积公式，其次是从边、角、比例式、三角形面积公式在几何题中的综合运用进行论述的，总结在解题或证明几何题中运用三角形面积公式解题既简单又明了，体现运用三角形面积公式解题的优越性.1.三角形面积公式及其求解特点1三角形的面积公式设在△ABC中，角A、B、C所对的边依次为abch、、，为a边上的高.（1）12ABCahS-2-（2）111sinsinsin222ABCabCacBbcAS2三角形面积公式推导2.1三角形面积公式12ABCahS的推导我们在中学已经学习过这个面积公式的推导，新的公式都可以由已经学过的公式推导出来，任意的三角形面积公式可由平行四边形的面积公式推出.如图1-1，在三角形ABC中，作,APBCDEBC.则ABC,=ABCDABPCDEBCAPSS平行四边形矩形APED故连接11,22ABCACABCADCahSS平行四边形ABCD，则故故12ABCahS2.2三角形面积公式111sinsinsin222ABCabCacBbcAS推导如图1-2，其中abc、、是ABC的三边，ABC、、是ABC的三个内角.如图，abc、、是ABC的三边，AD是高，由三角函数知sinADcB所以1sin2ABCacBS同理可得111sinsinsin222ABCabCacBbcAS-3-FDBAECP3运用三角形面积公式解决平面几何问题特点在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解.这样的方法构思新颖，巧妙灵活，在平面几何中有广泛应用，它为进一步研究平面几何开辟了一条崭新的思路.2.应用三角形的面积公式解或证明几何题1运用三角形的面积公式证明线段之间的关系例1如图2-1，点E、F分别在平行四边形ABCD的边CD、BC上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H分别是垂足.求证：DG=BH.证明：连接DF、BE.∵S△ADF=21SABCD，S△ABE=21SABCD，∴S△ADF=S△ABE，即21AF·DG=21AE·BH，∵AE=AF，∴DG=BH.例2如图2-2，在△ABC中，AB=AC,点P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，D、E、F分别是垂足.求证：PD+PE=CF.证明：连接AP，则△ABP≌△ACP又∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴21AB·CF=21AB·PD+21AC·PE，∵AB=AC，∴CF=PD+PE，即PD+PE=CF.分析：在几何命题论证中，通过添加适当的辅助线，会使分散的元素通过变化和转化相对集中.然而，证明两条线段相等是几何证明题中的一种常见的题型，其图2-1图2-2DECAFBGH-4-证明方法也比较多，这就要因题而论，选用哪种方法解题简单、明了，我们就选用哪种方法。就是要把我们所学的知识灵活地运用，才更加容易解决问题.例1以平行四边形的面积为桥梁，利用同一个平行四边形面积相等列等式，也就是用三角形的面积关系式表示同一个平行四边形的面积，从而列出等式解决此题.例2就是把大三角形的面积划分为两个小三角形的面积建立等式，从而使问题简单化.通过作辅助线把相对分散的条件集中到三角形中，并据此找出等量关系，可以说思路新颖独特，而且相当简便，便于我们解决问题.例3如图2-3，把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA1是多少？解：∵∠A=∠BA1O，∠C=∠A1BO，∴△ABC∽△A1BO，∴BOAABCSS1=212BAAB，设S△ABC=2a，则1S=a（a≠0），又∵BOAABCSS1=2，AB=2，∴BOAABCSS1=BA122=2，∴A1B=1，∴AA1=AB－A1B=2－1.分析:解答此题应用三角形相似的知识，得出两三角形相似，其面积之比等于相似比的平方，只需求出A1B的长，就可以求出A1A的长.解法十分简洁，易于理解与掌握.如果此题不应用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一知识点，那么这题就难以解答，还得增加条件才能解答此题.相比之下，还是应用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一知识解答此题简便一些.2运用三角形的面积公式证明角之间关系B1图2-32-3BCAC1A1O-5-例4如图2-4，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、AB上的点，BEDF，且相交于P.求证：DPCBPC.证明：连结CE、CF，则BCEABCDCDFSSS∵BEDF∴BCE的边BE上的高与CDF的边DF上的高相等，即点C到BPD的两边的距离相等，∴DPCBPC.图2-4PBCADFE分析：几何命题证明方法的另一种叫分析法——“执果索因”，从题目中要证的结论出发，探索结论成立的条件，再看这些条件是否在已知条件中具备以“未知”看“需知”.此题从结论特征看要证PC是∠BPD的角平分线，这是题目隐含的隐性条件，由此联想到定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，也就要证明点C到PB、PD的距离相等，故作BE⊥CF、DF⊥CE，又知道三角形的面积关系，可很快得出结论.例5如图2-5，在△ABC，AH是BC边上的高，O是AH上任意一点，CO交AB于D，BO交AC于E，连接DH、EH.求证：∠DHO=∠EHO.证明：过点A作BC的平行线分别交HD、HE的延长线于F、G，则有-6-HCAG=ECAE=BCEBAESS=OCEOAESS，所以AG=HC·OCEBCEOAEBAESSSS=HC·BOCAOBSS，①同理AF=BH·BOCAOCSS，②BH=HC·AOCAOBSS，③由①、②、③式，得AFAG=BHHC·AOCAOBSS=1，即AG=AF，AH是FG的中垂线，故DHOEHO.分析：此题巧妙地应用三角形的面积关系证明角相等，这是不易想到的，大多数解答此题都应该会想到用全等的知识作答，而解答此题的亮点就是运用三角形的面积关系.因为△AEG∽△CEH，得出HCAG=ECAE的结论，然而要得出“ECAE=BCEBAESS=OCEOAESS”这样的结论，却是本题知识的难点，也是本题知识