高三数学第二轮复习数列自助餐

选校网．设2021,,,aaa是首项为1，公比为2的等比数列.对于满足190k的整数k,数列,,,,,202021knknnaabbbb由,2020,201时当时当nkkn确定.记201nnnbaM.（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.（I）解：显然.201,21nann其中……………………………………1分当.20,,191,,111时时当时nanabknn……………………………………3分所以，2011911911911912191120122222nnnnnnnnnnnaaaabaM.2322212]1)2[(21939192192…………………………6分（II）解：2012012021212021112011201202222nknknknknnknknnknnknnnnaaaaaabaMknknknkn20120212222222………………………………………………9分)22(31)22(3114142141422020402020kkkkkkkk.32222312222312113120202020kk………………12分当.322,10,222113120Mkkk时即所以，M的最小值为.10,3221131k此时………………………………14分2．设Sn为等差数列{an}的前n项和（n∈N*）（1）若数列{an}单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，求证：选校网nnnSSS（2）数列{an}的公差为d，且)0(231dda问是否存在正的常数c，使得等式cScScSnnn122对任意正整数n都成立.若存在，求c（用d表示）；若不存在，请说明理由.解：记等差数列{an}的公差为d，由题意得0)4()(011215122ddaadadaaa即解得d=2a1……………………………………………………………………………2分所以12111,2)1(anSanadnaann………………………………4分于是122112122)1(4])2([)2()(anananSSSnnn0)1(4)1(41212anan故122nnnSSS……………………………………………………6分（2）假设存在正常数c，使得等式cScScSnnn122恒成立……7分又dnnddnnnddnnnaSn21212)1(232)1(………………8分所以当n=1时，有0)4(221523(2cdcdcd整理变形得cdcdcd21523227两边平方化简得dc21…………………………………………………………10分接下来证明：当dc21时，cScScSnnn122对任意正整数n都成立cScScSnnn122dndnddndndddndn21)1()1(21221)2()2(21212122202)2(22)3(2)1(dndndn∴存在正常数dc21使得等式cScScSnnn122对任意正整数n都成立………………13分选校网．已知数列aaaan(:}{1满足R）对于.3,4;3,3,3,2,11nnnnnaaaaan有（I）当;40:,401nnaa证明时（II）若a满足10a，求数列}{na的通项na；（III）证明：满足na≤3的自然数n存在.解：（I）,30时当na.10,130,3,43.41,441,41111nnnnnnnnnaaaaaaaaa时当因此，.4,401nnaa时…………4分（II）,10a.3,34,13,44534232aaaaaaaaaaa∴猜想对于任意正整数l有3,1,4,4342434aaaaaaaallll…………6分下面用数学归纳法证明对（i）,1aa满足对.,34aaNll（ii）假设当.34aaklk时有,3,34,1343,44,10,14143)1(414424143424aaaaaaaaaaaaaaklkkkkkkkkk有时则当.,13)1(4也成立时即当aaklk由（i）（ii）可知对任意.,34aaNll…………8分同理可证3,1,441424aaaaaalll…………10分（III）假设对所有的n，3,,31nnnaana有则对所有的，知数列}{na是首项为a，公差为－3的等差数列.选校网)3()3)(1(nanaan对于充分大的n，会有3na，这与假设矛盾，∴假设错误，∴有满足3na的自然数n存在…………14分4．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有23333231nnSaaaa，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求证：2na=2Sn－an；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若nannnb2)1(31（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时，2131aa∵a10∴a1=1……………………………………1分当n≥2时，23333231nnSaaaa①2131333231nnSaaaa②①－②得，)222(1213nnnnaaaaaa…………………………3分∵an0∴2na=2a1+2a2+…+2an－1+an，即2na=2Sn－an∵a1=1适合上式∴2na=2Sn－an(n∈N+)……………………5分（2）由（1）知2na=2Sn－an(∈N+)③当n≥2时，21na=2Sn－1－an－1④③－④得2na－21na=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+an－1=an+an－1∵an+an－10∴an－an－1=1……………………8分∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n………………9分（3）∵nnnannnnnbna2)1(32)1(31102)1(332]2)1(3[]2)1(3[11111nnnnnnnnnnnbb∴11)23()1(nn⑤……………………11分当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为22)23(k⑥选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ1………………12分当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为12)23(k⑦依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，∴23……………………13分∴0,123又∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有bn+1bn………………14分5．如图,将圆分成n个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为na.(Ⅰ)求1a,2a,3a,4a；(Ⅱ)求na与1na(2)n的关系式；(Ⅲ)求数列{}na的通项公式na,并证明2(*)nannN.解：（Ⅰ）当n=1时，不同的染色方法种数a1=3，……………………1分当n=2时，不同的染色方法种数a2=6，……………………………2分当n=3时，不同的染色方法种数a3=6，……………………………3分当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形∴不同的染色方法种数a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18…………………4分（Ⅱ）依次对扇形区域1,2,3,…n,n+1染色，不同的染色方法种数为3×2n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种∴an+an+1=3×2n（n≥2）……………………………………………6分（Ⅲ）∵an+an+1=3×2n（n≥2）∴a2+a3=3×22a3+a4=3×23………………an-1+an=3×2n-1将上述n-2个等式两边分别乘以(-1)k(k=2,3…,n-1)，再相加，得2112311221(2)(1)32323(1)231(2)nnnnnaa，∴an=2n+2(-1)n，…………………………………………………9分从而3,(1)22(1),(2)nnnnan………………………………………10分（Ⅲ）证明：当n=1时，a1=32×1,当n=2时，a2=62×2，当n≥3时，23222(1)(11)2(1)112(1)222(1)2nnnnnnnnnnnanCCCnnn故an≥2n(n∈N*).…………………………………………………14分6．如图所示的树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（Ⅰ）求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；（Ⅱ）求第n层树形图的高度Hn；（Ⅲ）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显然，当2,1n时是“矮小”的，是否存在Zm.使得当mn时，该树形图是“高大”的?解：(Ⅰ)设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为}{na，则2221,21,2221,1342321aaaa，所以，第三层树形图的高度4253213aaaH.第四层树形图的高度16252043214aaaaH.（Ⅱ）易知412nnaa，所以第n层树形图的高度为)(2221)(2111为偶数时为奇数时nnannn，所以，当n为奇数时，第n层树形图的高度为])21(1[32])21(1[34411)41(12221411)41(11112)1(21nnnnnH；当