§5.3 拉普拉斯逆变换

§5.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法:（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为01110111.......)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。)()()()(0sAsBsPsF第2页■▲6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于L-1[1]=(t)，L-1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。第3页■▲一、零、极点的概念若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为01110111.......)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm)())(()())(()()()(2121nnmmpspspsazszszsbsAsBsF分解零点极点0)(0)(sFsB因为的零点称为的根是sFsBzzzzm,0,,321的极点称为的根是sFsAppppn,0,,321)(0)(sFsA因为第4页■▲二、拉氏逆变换的过程求F(s)的极点将F(s)展开为部分分式查变换表求出原函数f(t)第5页■▲部分分式展开1.第一种情况：单阶实数极点,,321为不同的实数根npppp)())(()()(21npspspssBsFnnpsKpsKpsKsF2211)(ipsiisFpsK)()()(e]1[1tpsLtpii单阶实极点举例(1)求极点)3)(2)(1(3322ssssssF(2)展为部分分式321321sKsKsKsF362511)(ssssF所以6116332)(232ssssssF1eαstLt根据0e6e5e)(:32ttfttt得(3)逆变换求系数1|)3)(2(332|)()1(1211sssssssFsK第7页■▲假分式情况：23795)(223ssssssF作长除法23s46277223795232223232sssssssssssss)(22132)(1sFssssssF2112)(1sssFtttf2)(e)(e22tttt第8页■▲第二种情况：极点为共轭复数221βαssAsBsFβαsβαssFjj1共轭极点出现在βαj......jj21βαsKβαsKsFβαssFβαsKjj1ββαFj2j1βαssFβαsKjj2ββαFj2j1成共轭关系：可见21,KKBAKj1*12jKBAK第9页■▲求f(t)j11e||jKBAKj1*12e||jKKBAKβαsKβαsKLtfjj*1110tβtβtαKKeee*11tBtAtαsincose2je||je||jj)(j1j1*110sKsKsKsKsF=2|K1|e-tcos(t+)(t)共轭极点举例。的逆变换求)()52)(2(3)(22tfsssssF)2)(2j1)(2j1(32sssssF2j12j12210sKsKsK02,,1取57)2(20ssFsK52j1)2j1)(2(32j121ssssK52,51BA02sin522cos51e2e572ttttftt第11页■▲另一种方法22sssFF(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法2222ssssF0sinecosettβαttftt求得222)(cose)(sinesstLstLtt利用第12页■▲第三种情况：有重根存在232122)1(12)1)(2()(sKsKsKssssF4)1)(2()2(2221sssssK1)1)(2()1(12223sssssK为重根最高次系数为单根系数31,KK如何求K2?第13页■▲K2的求法0)2()1()2)(1(222211KssKKss22222)2(4)2()2(22ddssssssssss32K所以2)1(s对原式两边乘以两边再求导若求只能求出时令,,1,123KKs3212)1(2)1(ddKKssKss右边)()1(dd2sFss左边2,1Ks右此时令3)2(4122ssss左边32122)1(2)1(2KsKsKsss第14页■▲逆变换2)1(11324)(ssssF)()ee3e4()()(21ttsFLtfttt所以第15页■▲一般情况1!)]([nnsnttL111211111)()()()(kkkpsKpsKpssF1121)1(1)(psKpsKkk求K11，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式11)()()(1111pskpssFpssFKkisFsiKpsiii,3,2,1)(dd)!1(1111111)(dd,2112pssFsKi当1)(dd21,312213pssFsKi当)(e!1])(1[1111ttnpsLtpnn第16页■▲举例3)1(2)(ssssFsKsKsKsKsF213212311)1()1()1()(3|2|)()1(11311sssssFsK2|)2(|)]()1[(dd121312ssssssFssK2|421|)]()1[(dd2114132213sssssFssK2|)1(2|)(0302ssssssFK第17页■▲)()2e2e2e23()(2ttttftttsssssF2)1(2)1(2)1(3)(23