§7.4.4-5空间曲面和空间曲线1

§7.4.4锥面LCM1．锥面的定义已知一条定曲线C及不在C上的一定点M，动直线L过点M沿C移动所形成的曲面称为锥面。动直线L称为锥面的母线，点M称为锥面的顶点。曲线C称为锥面的准线。2.锥面的的方程设锥面的准线C的方程为.0),,(,0),,(21zyxFzyxF其顶点为),,(zyxM，则通过顶点),,(zyxM和准线C上的点1M),,(ZYX的母线方程为zZzzyYyyxXxx，其中点),,(zyxM是母线上的任意一点。当点),,(1ZYXM在曲线C上移动时，点),,(zyxM就是锥面上的点。因为),,(1ZYXM是准线上的点，所以满足方程.0),,(,0),,(21ZYXFZYXF将它与母线方程联立，消去ZYX和,即得锥面的方程。1MMMxyzo解：过顶点)0,0,0(o和准线上的点),,(1ZYXM的母线方程为ZzYyXx，即xzZX，yzZY，若锥面方程是关于x、y、z的二次式，则称之为二次锥面。xyzocz1M例1．求顶点为坐标原点，准线是椭圆czbyax12222的锥面方程。其中),,(zyxM是母线上的任意一点。∵点),,(1ZYXM在准线上，∴cZbYaX12222，把xzZX，yzZY代入，得cZbyzZaxzZ1)()(2222，化简得0222222czbyax，这是一个zyx,,的二次齐次方程。0022222222222czayxczbyaxba椭圆锥面圆锥面即为所求锥面（称为椭圆锥面）的方程。例2．求顶点为)2,1,3(M，准线为01222zyxzyx的锥面方程。解：设),,(ZYXM是准线上的任一点，则MM点与顶点构成的直线应在L所求锥面上，而直线的方程为L221133ZzYyXx),1(t变换方程的形式为txX)3(3，tyY)1(1，tzZ)2(2，将点),,(ZYX代入准线方程得1])2(2[])1(1[])3(3[222tztytx，①0])2(2[])1(1[])3(3[tztytx，②由②得22zyxt，代入①：,1]2)1(22[]2)1(21[]2)3(23[222zyxzzyxyzyxx,)2()422()()33(2222zyxzyxzyxzyx化简得锥面方程：044442106753222zyxyzxzxyzyx。由方程知：,1,1,1222222czbyax即,,,czbyax7.4.5几个常见的二次曲面1.椭球面方程1222222czbyax)0.0,,0(cba所确定的曲面称为椭球面。xyozabc这说明椭球面介于六个平面ax，by，cz所构成的长方体之内，,,cba叫做椭球面的半轴。下面用平行截痕法（即用平行于坐标面的不同平面去截曲面）来研究椭球面的形状。xyozabc（1）椭球面被三个坐标面00,,0zyx所截得的曲线分别为椭圆：012222xczby，012222yczax，012222zbyax。（2）用平行于xoy面的平面hz（ch）截椭球面，截得的曲线为hzczbyax1222222，即hzchbyax2222221，当ch时，0122ch，上面方程可写成hzchbychax11122222222，xyozabc它表示平面hz上的一个椭圆，长、短半轴分别为22hcca和22hccb。当h逐渐增大时，所截得的椭圆逐渐缩小；当ch时，所截得的椭圆变成点（0，0，c）。同样，可以用平行于其他坐标面的平面截此椭球面，并进行类似的讨论，这样，就可以画出椭球面的图形。xyozabc由方程1222222czbyax或1222222czbyax或1222222czbyax所确定的曲面叫做单叶双曲面。xyzo1222222czbyax1122222222222czayxczbyaxba单叶双曲面旋转单叶双曲面2.单叶双曲面这里只研究单叶双曲面1222222czbyax的形状。用平行于xoy面的平面hz去截它，截线总是一个椭圆：hzchbyax2222221xyzo它的顶点分别在xoz和yoz平面上，但是曲面分别在这两个平面上的截线却是双曲线：012222yczax和012222xczby，由方程1222222czbyax或1222222czbyax或1222222czbyax所确定的曲面称为双叶双曲面。于是，单叶双曲面可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆的两对顶点分别在上述两条双曲线上运动，椭圆所在平面垂直于z轴。单叶双曲面对称于每个坐标轴，每个坐标平面和原点。3．双叶双曲面xyzo1222222czbyaxxyzo1222222czbyax（2）用平行于xoz面的平面hy去截它，当bh时，截线总是一个椭圆：hybhczax1222222它的两对顶点分别在xoy和yoz平面上，下面只研究双叶双曲面1222222czbyax的形状。（1）若0y，则得12222czax，故这个曲面和xoz平面不相交。双叶双曲面对称于每个坐标轴，每个坐标平面和原点。于是，双叶双曲面也可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆的两对顶点分别在上述两条双曲线上运动，椭圆所在平面垂直于y轴。但是曲面分别在这两个坐标平面上的截线却是双曲线：012222yczax和012222xczbyxyzo1222222czbyax由方程2222byaxz或2222czaxy或2222czbyx确定的曲面称为椭圆抛物面。4．椭圆抛物面xyzo下面只研究方程2222byaxz的形状。（3）它与yoz平面和xoz平面的截线为抛物线：022xbyz和022yaxz（1）椭圆抛物面经过原点，且在xoy面上方。（2）曲面上的点关于oz轴、yoz和xoz平面对称。xyzo（4）用平行于xoy平面的平面)0(hhz去截曲面，截线方程为hzhbyax2222，它是一个逐渐增大的椭圆。由方程2222byaxz或2222czaxy或2222czbyx确定的曲面称为双曲抛物面。椭圆抛物面可以看作是由一个椭圆的变动产生的，这个椭圆的两对顶点分别在上述两条抛物线上运动，椭圆所在平面垂直于Z轴。5．双曲抛物面（马鞍面）xyzo对方程2222byaxz的形状的讨论，请看教材95P。当1ba时，方程22yxz通过将x轴、y轴在xoy面上作45的转轴后变形为xyz。例1．指出下列方程表示什么曲面？（1）1644222zyx（2）81422zy（3）zyx9422（4）0922zyx（5）0149222zyx旋转椭球面双曲柱面椭圆抛物面旋转抛物面单叶双曲面（6）04222zyx（7）0125922yx（8）yx2（9）1443222zyx（10）0222zyx圆锥面椭圆柱面抛物柱面旋转双叶双曲面双曲抛物面例2．求与oxy平面成45角，且过点)0,0,1(的直线的轨迹。解：设),,(zyxM为动直线上任一点，则动直线的方向向量为},,1{zyxa，取z轴上的单位向量}1,0,0{k。由题意可知a与z轴的夹角为45，21),cos(sinka，而222)1(),cos(zyxzkakaka，故得21)1(222zyxz，化简得0)1(222zyx（旋转锥面）。§7.4.6曲面的参数方程若曲面上点的坐标),,(zyx能表示成两个参数vu,的函数：),(),(),(vuzzvuyyvuxx，则此方程组称为曲面的参数方程。若能从方程组中消去参数vu,，则得曲面的隐式方程：0),,(zyxF。例如，圆柱面222ayx的参数方程为),20(.,sin,cosuuzayaxxzyoMR球面2222Rzyx的参数方程为)0,20(.cos,sinsin,cossinRzRyRx作业习题四（P96）2；9；14。总习题（P99）1；3；5；8；9；11；15；17；19。