第十六讲 第九章 矩形板的弯曲理论

第九章矩形板的弯曲理论§9-1概述§9-2板的筒形弯曲§9-3刚性板的弯曲微分方程式§9-4刚性板弯曲的解§9-5正交异性板的弯曲§9-6刚性板的弯曲解法ExitNextPre刚性板的弯曲微分方程式可以用梁的弯曲微分方程式同样的途径的建立,即利用变形条件,物理方程及静力平衡关系,其中还要用到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出研究矩形板的一般弯曲,并限于讨论刚性板,即不计板中面力对弯曲的影响。研究对象:§9-3刚性板的弯曲微分方程式（1）直法线假定：板变形前垂直于中面的法线在变形后仍为直线，并且变形前在中面法线上的点在变形后距中面的距离不变。存在。（2）板在z方向的正应力与其它应力分量相比可以忽略不计，即。（3）不计板中面的变形。ExitNextPre00yzxzz、0z),()2(4422444yxqywyxwxwDyxwEzxwywEzywxwEzxyyx222222222221)(1)(1yxwDMxwywDMywxwDMxyyx222222222)1()()(利用变形条件,物理方程及静力平衡关系(其中还要用到应力合成为内力的静力等效公式，依次导出如下。222222xyxywxwzywxy刚性板一般弯曲的平衡微分方程式:1、基本假定（1）应变与位移之间的关系（2）应力与应变之间的关系（3）断面上的力与弯矩（4）静力平衡条件2、弯曲微分方程式ExitNextPre00:022＝、、xwwaxx00:022＝、、ywwbyy00:0＝、、xwwaxx00:0＝、、ywwbyy020:23332222yxwywxwywby）－（、＝020:23332222xywxwywxwax）－（、＝0|:),(),(2byaxyxwbayx①板自由支持在刚性边界上②板刚性固定在刚性边界上③板的边缘为自由边自由支持在刚性周界上板的边界条件为边缘处挠度等于零和边缘处的弯矩等于零此边界条件是边缘处的挠度等于零和支持边缘的转角等于零板的边缘为自由边:在这种情形中,支持周界既不妨碍弯曲,亦不妨碍边缘的转角。若y=b的边为自由边,则该边应满足：000yyxyMNM弯矩剪力扭矩对于悬空的角点上,还应该满足集中反力为零为条件3、边界条件在已知外荷重、板的尺寸、材料性质以及边界条件情况下,对微分方程式进行积分,在求得板的挠曲函数w(x,y)之后,计算弯曲正应力和剪应力),()2(4422444yxqywyxwxwDyxwDMxwywDMywxwDMxyyx222222222)1()()(对于四周自由支持的板,板的挠曲面函数在支持周界上必须适合下列条件：22220,00,0wxxawxwyybwy当时当时(应用双三角级数对板弯曲问题的解称为“纳维叶解”)§9-4刚性板弯曲的解1、应用双三角级数解四边自由支持板的弯曲为求解微分方程式,可将w(x,y)写成下面的级数形式:11,sinsinmnmnmxnywxyAab式中Amn为未知的待定常数∵上式w(x,y)满足边界条件式22220,00,0wxxawxwyybwy当时当时∴将w(x,y)代入微分方程式得:222sinsin,mnmnmnmxnyDAqxyabab将荷重q(x,y)也展成和挠曲函数相对应的级数形式(傅里叶级数)：,sinsinmnmnmxnyqxyqab式中qmn为傅里叶系数004,sinsinabmnmxnyqqxydxdyabab即可求出Amn如下：222mnmnqAmnDab于是得板的挠曲线方程式为:222,sinsinmnmnqmxnywxyabmnDab下面我们考虑两个情况：（1）若板上受均布荷重q0，这时000024,sinsin16,1,3,5,2,4,60abmnmnmnmxnyqqxydxdyababqmnqmnmnq当时当时所以从这里看到,级数的分母是m,n的五次式,因此这个级数的收敛性比较好,计算时级数往往取一、二项就足够精确了。但是,在求弯矩时须求二次导数,收敛性要差些。...5,3,1,22220][sinsin16),(nmbnambynaxmmnDqyxw(2)若板上受集中力p，它的作用点的坐标为ξ,ηaboPxydηdξξη这时系数qmn可这样来决定:在集中力的作用处,取边长为dξdη的矩形微块,并且认为在此微块dξdη上作用着强度为的分布荷重,Pqdd应用上述均布载荷下的公式,得:sinsin4ddmnmxnyPabqdxdyabdd当dξ,dη趋于零时,其极限为:4sinsinmnPmnqabab于是222sinsin4,sinsinmnmnPmxnyabwxyabDabmnab从所得解的结果看到,式中可将两个正弦函数互换位置,说明当P作用在(ξ,η)处,则在板任意点(x,y)处引起的挠度就等于P作用在板上任意点(x,y)处在(ξ,η)处所产生的挠度,这就是位移互等定理。对于一对边(x=0及x=a的边)为自由支持,另一对边为任意固定情况的板,我们可以将板的弯曲微分方程式的解取为单三角级数形式：mmaxmyfyxwsin)(),(上式满足x=0及x=a的自由支持的边界条件。其中fm(y)为y的任意函数,它可以由平衡方程式和y=0及y=b处的边界条件来决定。∴将w(x,y)代入板的弯曲微分方程式得:24,2sinIVmmmmqxymmmxfyfyfyaaaD为着要决定函数fm(y),把荷重q(x,y)展开成相应的单三角级数：mmaxmyqyxqsin)(),(amdxaxmyxqayq0sin),(2)(式中单三角级数解题的本质是分离变量法,即将一个关于x,y的偏微分方程化为一个变量y的常微分方程。单三角级数解题的本质:2、应用单三角级数解一对边自由支持板的弯曲将式q(x,y)代入板的弯曲微分方程式中,得:242mIVmmmqymmfyfyfyaaD上式是一个典型的常微分方程,它的一般解由齐次方程的通解和它的特解组成．该微分方程式的一般解为：mmmmmmmmfyAchyBshyCychyaaaammmmDyshyFyaa式中Fm(y)为特解,积分常数可以由y=0及y=b处的边界条件来决定。例试决定自由支持在边缘x=0与x=a处及刚性固定在边缘y=±b/2处的板的挠曲面(如图)。板上受均匀分布荷重q0。(先判断,用单三角)0.5b0.5bOaxymmmmmmmfyAchyDyshyFyaaa解:由于板的挠曲面对称于x=0轴,因而函数fm=（y）中的奇函数项的系数就应等于零,即Bm=Cm=0,于是其中特解Fm（y）可以这样求得。因为00042sinamqmqyqdxaam(当取m=1,3,5……)所以24042IVmmmqmmfyfyfyaamD从此方程中看到,只要取特解为常数就能成为方程的解,从而得:4054mqaFyDm所以4054mmmqammmfyAchyDyshyaaaDm积分常数Am、Dm可以由y=±b/2处的边界条件来决定当2by时，0wwy0,022mmbbff即将上式代入板的刚性固定边界条件,得:405422202222mmmmmmmmmmmuuuqaAchDshDmuuuuAshDshch由此解得:式中:mmbua24054054121282mmmmmmmmmmuushqaAushuuDmchushqaDshuuDm将求得之常数代入fm式中，得:4054mqafyDm2222112mmmmmmmmumymyushshchushmyaaushuuashuuch于是得板的挠曲面函数为:40551,3,5241,22211sin2mmmmmmmmmqawxyDmumymyushshchushmymyaaushuuashuuachmmaxmyfyxwsin)(),(应用单三角级数对板弯曲问题的解称为“列维(Levy)解”。3.四周刚性固定的板的解对于大多数受均布荷重作用的船体板,由于荷重和结构都对称于板格的支座,因此通常认为板的四边都是刚性固定在刚性支座上。四周刚性固定板的求解要比上面所讨论的一对边或四边自由支持的板要困难得多。通常做法是:将这种板化成两个四边自由支持的板叠加求解：其中一个是受均布荷重作用的自由支持板,另一个是在四边有分布弯矩作用的自由支持板,如图。显然这两种板都可以用双三角级数解法计算。(b)(a)ba(b)(a)ba∵要求图(a)与图(b)叠加后的结果就是四周刚性固定受均布荷重作用的板,∴要使图(b)中板边的分布的弯矩恰好形成板边的转角与图(a)中受均布荷重作用的板边形成转角大小相等方向相反,加起来等于零。参阅上图的板结构,长边为a,短边为b的四周刚性固定受均布荷重作用的矩形板的挠度与弯矩的计算公式为:板中点的挠度:413qbwkEt1板中点,与短边平行的断面(垂直于x轴的断面)中的弯矩:212Mkqb2板中点,与长边平行的断面(垂直于y轴的断面)中的弯矩:3323Mkqb板短边中点的弯矩:4214Mkqb板长边中点的弯矩:5225Mkqb以上公式中的系数k1、k2、k3、k4及k5随板的边长比而变化,见图9-20ExitNextPre由以上公式求出了板的弯矩后,板上下表面的弯曲正应力可按下式计算:26Mt上式表示,当M为正时(板中点),板的上表面为压应力,下表面为拉应力;当M为负时(板边上),板的上表面为拉应力,下表面为压应力.当a/b相当大时,k5=0.0833,由此得长边中点断面的最大弯曲应力为:2max5000100bqt此式常用来校核船体板在局部强度计算中的应力②横骨架式船体板(见图9-21),设短边长度为s,则当边长比相当大时,取k3=0.0417,k5=0.0833,分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为:222500100sqt225000100sqts两类骨架形式船体的跨中应力和支座断面应力①纵骨架式船体板(a＞b),当边长比相当大时,取k2=0.0125,k4=0.0571,分别得沿船长方向跨度中点和支座断面中的应力为:21750100bqt213430100bqt(b)(a)ba例计算“庆阳”号船底板中的最大应力及沿船长方向的