第十章 随机过程及其统计描述

第十章随机过程及其统计描述§1随机过程的概念§2随机过程的统计描述§3泊松过程及维纳过程本章小结返回目录1.随机过程的定义随机过程实际上是一个定义在一实数集T和一样本空间S上的二元可测函数，它满足两个基本的条件：(a)对固定的是一个随机变量；(b)对固定的是一个仅依赖于的函数；,,tXTt,,tXS在本书中随机过程定义为一依赖于参数（T是一无限实数集）的一族（无限多个）随机变量。Tt§1随机过程的概念},),,({SwTtwtx2.随机过程的状态与状态空间随机过程的.,,,:.,,,,:11可能取值的全体对所有状态空间过程处于状态说成是在时刻而态时刻的状称为随机过程在则为时间若状态tXSTtxttxtXttXt3.随机过的举例说明例1抛掷一枚硬币的试验，样本空间是现以此定义,T,HS,tT,tH,tcos,tX其中21HPTP试问：以此定义的过程是否为一随机过程？S,Tt,,tX解：显然（1）对固定的，是一个仅依赖于t的函数；S,tX（2）对固定的，是一个随机变量。由定义即知该过程为一Tt,tX随机过程。例2﹑设a.b是常数试问如此定义的过程是否为一随机过程？btcosa,tX,2,0U~,Rt2,0U,Rt,,tX解：显然对固定，是一个仅依赖于t的函数；对固定的，是一个随机变量b,aU,tX2,0Ut,tX•由定义即知该过程为一随机过程。4.随机过程的分类(a)随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型随机变量或离散型随机变量而分成连续型随机过程或离散型随机过程；(b)随机过程还可依时间（参数）是连续或离散进行分类。当时间集T是有限或无限区间时，相应的随机过程为连续参数随机过程，当T是离散集合时，相应的随机过程为离散参数随机过程或随机序列back§2随机过程的统计描述2.1随机过程的一维函数族：给定随机过程对于每一个固定的，随机变量的分布函数一般与t有关，记为STttX,,,Tt,tX称它为随机过程一维分布函数，而为一维分布函数族。RxxtXPtxFX,,STttX,,,TttxFX,,一维分布函数族作用：刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。2.2随机过程的n分布函数族：niRxxtXxtXxtXPttxxxFinnnnX,...,2,1,,,...,,,...,;,...,,2211121对于固定的n，称为随机过程的n维分布函数族；TttttxxxFinnX,,...,,;,...,,2121STttX,,,n维分布函数族的作用：描述了随机过程在不同时刻状态之间的统计联系，且当n取得愈大，则n维分布函数族描述随机过程的特性愈完善2.3随机过程的数字特征随机过程的：STttX,,,;:,,:222tXEttXtX二阶原点矩的随机变量对固定的均方值函数;:1tXEtX均值函数;:的函数值的平均值时刻函数在是随机过程的所有样本注意ttX::;:322函数称为随机过程的标准差说明方差函数tttXEtXVartDtXXXX.,3;,,2;,1:222121212tttCtttttRttCttRtXXXXXXXXX的关系随机过程数字特征之间;,:,,:,4212121ttRtXtXEttRXXX简记为简称相关函数自相关函数.,,,:,52122112121ttCttXttXEtXtXCovttCXXXXX简记为简称协方差函数自协方差函数.,,,:.4.222都存在二阶矩如果对每一个随机过程二阶矩过程tXETtTttX;.5.2算问题随机过程数字特征的计?,2,0~,1,0~,,,.,1数是怎样的的均值函数和自相关函问相互独立且自相关函数如果的均值函数和试求随机过程是两个随机变量设例tXUBNABATtBAttXBA解答.,,2,0~,,,cos,2是常数其中差函数和自相关函数的均值函数方求随机相位正弦波例batbtatX解答：.,,,,0~,,,,,,sincos.32函数和自相关函数并求它的均值是正态过程试证明是常数且是相互独立其中设例tXaNBABATtatBatAtX解答：10.2.7二维随机过程的分布函数和数字特征.,,,,,,:1为二维随机过程则称是不同的二维随机变量对于不同的的随机过程是依赖于同一参数设二维随机过程TttYtXtYtXTtTttYtX.,...,2,1,,...,2,1,,,,...,;,...,;,...,;,..,,...,,,;,...,,,,,:2''1111''2'121mjniRyxttyyttxxFmnTttttttTttYtXmntYtXmniimmnnmn维随机变量的分布函数中任意两组实数是给定二维随机过程联合分布函数维的与维分布函数或随机过程二维随机过程的,,,,::3212121TtttXtXEttRaXY互相关函数征二维随机过程的数字特.,,,,:212121221121TttttttRttYttXEttCbyXXYYXXY互协方差函数.,0,21是不相关的和则称随机过程若tYtXttCXY10.2.8三个随机过程之和的统计特性则令是三个随机过程设,,,,tZtYtXtWtZtYtX,ttttZYXW2121,tWtWEttRWW*,,,,,,,,,212121212121212121ttRttRttRttRttRttRttRttRttRZZZYZXYZYYYXXYXYXX;*1:数之和程的互相关函关函数以及各对随机过为各个随机过程的自相示和的自相关函数可以表式表明几个随机过程之说明即程的自相关函数之和函数简单地等于各个过的自相关此时于零式可知诸相关函数均等则由都为零且各自的均值函数是两两不相关的如果上述三个随机过程,,*,,2tW为此处即均方值函数式可得的方差由令特别地2,,321ttt21,ttRWW212121,,,ttRttRttRZZYYXX.22222tttttZYXWWback10.3.1泊松过程.0,,,...,,,0.,0,,0,:11201210为独立增量过程则称相互独立个增量和任意选定的数如果对任意选定的正整上的增量随机过程在区间为随机变量给定二阶矩过程独立增量过程ttXtXtXtXtXtXtXnttttntstssXtXttXnnn;”“1:这一特征增量是相互独立的态的在互不重叠的区间上状独立增量过程具有说明;002的分布所确定增量布函数族可以由的条件下它的有限维分在sXtXX.,,0,3则称增量具有平稳性具有相同的分布与和若对任意的实数特别sXtXhsXhtXhthsh..,,0,齐次或时齐的相应的独立增量过程是当增量具有平稳性时称令事实上本身和而不依赖于时间差赖于的分布函数实际上只依增量这时shsttsstsXtX10.3.2已知条件下独立增量过程的协方差.,0,00tsCttXtDXXX的协方差函数立增量过程为已知的条件下计算独和方差函数本节将在;,,.也具有独立增量具有独立增量时当首先注意记tYtXttXtYX:,0.,0,002就有时故当且方差函数其次tstDtYEtDtYEYXY.002sDsYEsYtYEYsYEsYsYtYYsYEX.,min,,0,,tsDtsCtsXX数表示为协方差函数可用方差函对任意于是可知tYsYEtsCX,10.3.3泊松过程.,,0,.,00,:.1称为计数过程时间连续的随机过程是一状态取非负整数数内出现的质点表示在时间间隔以计数过程ttNTttN:.,2,1,0,,,,,,,.,,0,,:.200000000满足如下条件现假设其概率记为是一事件即点个质内出现在内出现的质点数时间间隔它表示将增量泊松过程记成tNkkttNPttPkttNkttttttttNtNtNk;10量具有独立性在不相重叠的区间上增称为过程其中常数对于充分小的0,01,,:210tttttNPtttPt;22,,,0,,,3;00,0略不计以忽一个质点的概率相比可以上质点的概率与出现个个或出现在亦即对于充分小的对于充分小的的高阶无穷小时是关于当而的强度tttttjtttNPtttPtttttNj的泊松流称作为强度为出现的随机时刻相应的质点流或质点的泊松过程称强度为的计数过程满足条件,,,0,4~1.00421000ttttNN10.3.4泊松过程的分布律有和结合条件由题设有,32,1,0000kkttP)1.(01,,1,210tttttPtttPtttPkk有时当则假设,0,0kit,0,,0,0,,0,,00000tttNttNPtttNttNPtttNPtttP.0,,,]01[,0,0,,11000000000000ttttPttPtttPttttPtttNPttNPtttP或式上式可写成和由条件.,,2.1,,0,,2,,,,0,000000000000000ttettPttPttNttPdtttdPttPtttt解得从方程把它看作初始条件即可故因为满足的微分方程即得并令除上式两边现以的计算ttPk,5.3.100及再由有条件根据和事件概率公式和00000004~1,,,,,,,1jkttNPjtttNPktttNttNPktttNPkjttPtttPtttPkttttPtttPjkkjjkjjk,,,,20,,00020上式可表示成1kt0t,tPt0tt,tPt0t101k0k41,,,0,3,,,:,,0,,000001000