第十章 Stokes 公式

定理设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面,的正向与的侧符合右手规则,函数),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdxn右手法则是有向曲面的正向边界曲线证明如图设Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点,并Σ取上侧,有向曲线C为Σ的正向边界曲线在xoy的投影.且所围区域xyD.xyzo),(:yxfzxyDCn思路曲面积分1二重积分2曲线积分dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代入上式得又,coscosyfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPycos)(dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即yfzPyPyxfyxPy)],(,,[,)],(,,[dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD1根椐格林公式cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy)],(,,[)],(,,[dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc)],(,,[即平面有向曲线2,),,(dxzyxPdxdyyPdzdxzP空间有向曲线同理可证,),,(dyzyxQdydzzQdxdyxQ,),,(dzzyxRdzdxxRdydzyRdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx..故有结论成立.便于记忆形式RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz另一种形式RdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscos}cos,cos,{cosn其中Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.(当Σ是xoy面的平面闭区域时)斯托克斯公式格林公式特殊情形二、简单的应用例1计算曲线积分ydzxdyzdx,其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解0xyDxyzn111按斯托克斯公式,有dzyxdyzdxdxdydzdxdydz弦都为正，的法向量的三个方向余由于再由对称性知：dxdydzdxdydzxyDd3如图xyDxyo11xyDdzyxdyzdx23例2计算dzyxdyxzdxzy)()()(1,222bzaxayx为椭圆其中从x轴正向看去，椭圆取逆时针方向解一用Stokes公式RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzxyzodxdydzdxdydz)11()11()11(dxdydzdxdydz2坐标面垂直与zox0dzdx面的投影为一椭圆在yoz1222bzaxayx消去x得1)(2222aybbzyzDabdydzdydz（椭圆面积）222ayxxoy：面的投影在xyDadxdydxdy2（圆面积）)(2baaRdzQdyPdx解二化为参变量的定积分计算tytxsincos令)cos1()1(tbaxbz则20)sin)](cos1(sin[tatbtaItbtatatatatbsin]sincos[cos]cos)cos1([)(2baa解三投影方法1:222bzaxayx将投影到xoy面得投影曲线222:ayxC（逆时针方向）记C所围区域为DRdzQdyPdxICdyxaxbdxaxby])1([)]1([)]1([)(axbdyxCdyxabbdxbyab])1([])1[(Ddxdyab)1(2Green公式)(2baa三、空间曲线积分与路径无关的条件前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件空间一维单连域：若G内任一闭曲线总可以张一张完全属于G的曲面，则称G为空间一维单连域，或称G为按曲面是单连通区域内恒成立在）的充要条件是为任一闭曲线的曲线积分内内与路径无关（或沿在间曲线积分一阶连续偏导数，则空内具有在是空间一维单连域，设定理GzPxRyRzQxQyPGGRdzQdyPdxGRQPG,,0,,应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到内恒成立在的全微分的充要条件内是某一函数在连续的一阶偏导数，则内具有在是空间一维单连域，设定理GzPxRyRzQxQyPzyxuGRdzQdyPdxGRQPG,,),,(,,oxyzM0MM1M2),,(),,(000),,(zyxzyxRdzQdyPdxzyxuxxyydyzyxQdxzyxPzyxu00),,(),,(),,(000zzdzzyxR0),,(四、物理意义---环流量与旋度1.环流量的定义:.),,(),,(),,(),,(按所取方向的环流量沿曲线称为向量场上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC利用stokes公式,有sdRQPzyxkjisdAC环流量2.旋度的定义:.)(ArotRQPzyxkji为向量场的旋度称向量RQPzyxkjiArot旋度.)()()(kyPxQjxRzPizQyR斯托克斯公式的又一种形式dSyPxQxRzPzQyR]cos)(cos)(cos)[(dsRQP)coscoscos(其中,coscoscoskjin的单位法向量为kjitcoscoscos的单位切向量为斯托克斯公式的向量形式dstAdSnArot其中cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotncoscoscosRQPnAAtdsAsdArott环流量Stokes公式的物理解释:向量场A沿有向闭曲线的环流量等于向量场A的旋度场通过所张的曲面的通量.(的正向与的侧符合右手法则)例4设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为321,,刚体在每一点的线速度构成一线速场，则向量zyxOMr,,在点M处的线速度场的旋度等于角速度的2倍MvLo解由力学知道点的线速度为Mrvzyxkji321观察旋度vrot.22,2,2321由此可看出速度场的旋度与旋转角速度的关系.五、向量微分算子kzjyix---------Hamilton算子graduugraduuu2)()(kzujyuixukzjyixuzuyuxu222222------Laplace算子kRjQiPAdivAzRyQxPArotARQPzyxkjiA若P，Q,R具有连续的二阶偏导数，即得0)(rotAdiv---------即旋度场是无源场0)(gradurot---------即梯度场是无旋场六、小结斯托克斯公式dsRQPzyxcoscoscosRdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzdstAdSnArot斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义练习题一、计算dzyzxzdyydx23,其中是圆周2,222zzyx若从z轴正向看去,这圆周是逆时针方向.二、计算dzxdyzdxy222,其中是球面2222azyx和园柱面axyx22的交线)0,0(za,从x轴正向看去,曲线为逆时针方向.三、求向量场jyxziyzA)cos()sin(的旋度.四、利用斯托克斯公式把曲面积分dsnArot化成曲线积分,并计算积分值,其中A,及n分别如下:kxzjxyiyA2,为上半个球面221yxz的上侧,n是的单位法向量.五、求向量场kxyjyzxizxA233)()(沿闭曲线为圆周0,222zyxz(从轴z正向看依逆时针方向)的环流量.六、设),,(zyxuu具有二阶连续偏导数,求)(gradurot.练习题答案一、20.二、34a.三、jiArot.四、0.五、12.六、0.