复合函数微分法

§2复合函数微分法一、链式法则二、复合函数的全微分一、复合函数的求导法则，yxyxfzDts可微在点可微在点),(),(,),()),(),,((tstsfz则复合函数的偏导数分别为与且它关于可微在点ts，ts),(syyzsxxzsz上式称为链式法则tyyztxxztz),(),,(5.17tsytsx若函数定理tsttxssxx11于是得可微在点又由，yxyxfz),(),(yyzxxzz)()(tsttyssyy22yxyyzxxzz即将Δx,Δy代入上式得得可微在点再由，tstsy),(),(，tstsx可微在点因证),(),().)(())((2211tsttyssyyztsttxssxxzzttyyztxxzssyyzsxxzz)()(整理后得0lim,0lim0000tsts其中ts)),(),,((tstsfz所以复合函数，ts可微在点),(的偏导数分别为与且它关于tssyyzsxxzsztyyztxxztz链式法则如图示zxytssyyzsxxzsztyyztxxztz链式法则如图示xzuvxzyuzxuvz,xvyzuzyuvz.yvuvxzy若定理中注意例如),(yxfz易知:则复合函数),()),(),,((ttftstsfz21tdzdtdydyztdxdxz01010减弱为偏导数存在,2t0,22222yxyxyx,0022yx则定理结论不一定成立.若令(,),(,)xsttysttzuyxst),(),,(),,(tsztsytsx若函数，zyxzyxfuDts可微在点在点),,(),,(,),()),(),,(),,((tststsfz则复合函数的偏导数与且它关于可微在点ts，ts),(分别为szzusyyusxxusutzzutyyutxxutu上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdzzuvx型.dxdvvzdxduuzdxdz特殊地例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuuyzuzyuvzyv1cossinvexveuuzuvxy型)].cos()sin([yxyxyexy)].cos()sin([yxyxxexy练习设,,,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解xzveusinyzveusinxvvzveucosyvvzveucos11zvuyxyx练习设)(xyxfz，且f具有一阶导数。求yzxz,.解xududfxz令.xyxu则).(ufz)(xyxf).1(yyududfyz).(xyxfxzuxy型222221sin,cos),(yuxuurruryrxyxuu下，证明可微，在极坐标变换设例2urxy解sincosyuxurucossinryurxuu例3设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解dtdzttuevtcossinttetettcossincos.cos)sin(costttetuzdtduvzdtdvtzzuvtt型特殊地),,(yxufz),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中,1xv,0xw,0yv.1yw把],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数区别类似例4设222),,(uyxeyxuf，而.sin2yxu求yzxz,.解xfxuufxz.yfyuufyz2222222sin22uyxuyxxeyxue.)sin21(22222uyxeyxx2222222)(cos22uyxuyxyeyxue.)2sin2(2224uyxeyxy注意多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例5设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,1uff,12211ufuff,2vffvfvuff1212,12222vfvffwuvxyz型).,(vufw则.2221ufuvff二阶偏导连续zxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf因此，zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyfxwxvvfxuuf;21fzyf于是，xxy）（1的导数：计算下列一元函数用多元复合函数微分法例6解，令xvxuuyv,,则有uuvudxdvydxduydxdyvvvuln1)ln1(xxxxxxxycossinln)1()2(2解，令xwxvxxuuvwyln,1,cossin,2则有dxdwydxdvydxduydxdywvuxuvxuwxxuvw1)2()sin(cos2二、复合函数的全微分dyyzdxxzdz设函数dssyyzsxxzdttzdsszdzdttyyztxxzdttxdssxxzdttydssyyzdxxz.dyyz的全微分为由定义复合函数若x,y又是s,t的可微函数：((,),(,))zfstst可见无论x,y是自变量还是中间变量,函数dyyzdxxzdz的全微分都可以用同一种形式表示：这性质叫做全微分形式不变性..),sin(7yzxzdzyxezxy与，并由此导出不变性求利用全微分形式设例解内容小结1.复合函数求导的链式法则2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,vdvufudvufzdvu),(),(zxytssyyzsxxzsztyyztxxztz