三大分布练习

数理统计前一页后一页返回广东工业大学1、定义222212nXXXnXXX,,,21设相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量)(2n的分布称为自由度为n的分布.记为。2)(~2nxyO（一）分布2三大分布若，则)(~2nX.2,nDXnEX2、分布的性质2若,且X与Y独立,则)(~),(~22mYnX)(~2mnYX可加性数理统计前一页后一页返回广东工业大学例1设总体621,,,),1,0(~XXXNX为取自总体X的样本,26542321)()(XXXXXXY令求常数C，使2~CY数理统计前一页后一页返回广东工业大学例1设总体621,,,),1,0(~XXXNX为取自总体X的样本,26542321)()(XXXXXXY令求常数C，使2~CY解:由已知有321XXX)3,0(~N3321XXX),1,0(~N同理有3654XXX).1,0(~N且3321XXX与3654XXX相互独立.于是，由分布的定义有226542321)3()3(XXXXXX),2(~2.31C数理统计前一页后一页返回广东工业大学4321,,,XXXX)2,0(N243221)43()2(XXbXXaXab2~X例2设为来自正态总体的简单随机样本，，则当，时，，其自由度为。记数理统计前一页后一页返回广东工业大学4321,,,XXXX)2,0(N243221)43()2(XXbXXaXab2~X例2设为来自正态总体的简单随机样本，，则当，时，，其自由度为。记解：),20,0(~221NXX).100,0(~4343NXX),1,0(~20221NXX).1,0(~1004343NXX221)202(XX)2(~)10043(2243XX,201a.1001b由已知有标准化得易知20221XX1004343XX与相互独立，于是，由分布的定义有2数理统计前一页后一页返回广东工业大学1、定义设且X,Y相互独立，则随机变量)(~),1,0(~2nYNXnYXT所服从的分布称为自由度为n的t分布(或称学生氏分布),记为)(~ntT)(~ntxyO（二）t分布数理统计前一页后一页返回广东工业大学2、t分布的性质（1）)(21);(lim22xenxfxn（3）0)(TE2)(nnTD)2(n（2）为偶函数。)(xfxyO数理统计前一页后一页返回广东工业大学521,,,XXXcn,dn,例3设相互独立，且都服从标准正态分布，)(2221XXc)(2n服从，则（1）若25242321XXXXXd)(nt服从分布，则（2）若。。数理统计前一页后一页返回广东工业大学521,,,XXXcn,dn,例3设相互独立，且都服从标准正态分布，)(2221XXc)(2n服从，则（1）若25242321XXXXXd)(nt服从分布，则（2）若。。解：（1）由卡方分布的定义，易得.2,1nc（2）由已知有),2,0(~21NXX标准化得)1,0(~221NXX由卡方分布的定义有),3(~2252423XXX且221XX与252423XXX相互独立。于是,由T分布的定义得)3(~3/)(2/)(25242321tXXXXX得,23d.3n数理统计前一页后一页返回广东工业大学1、定义mYnXF//),(~mnFF所服从的分布称为F分布。记为设，且X与Y相互独立，则随机变量),(~2nX)(~2mY2、密度函数第一自由度第二自由度),(~mnFxyO（三）F分布数理统计前一页后一页返回广东工业大学（三）F分布2、F分布的性质),(~1nmFX（1）若，则),(~mnFX),1(~2nFT（2）若，则)(~ntT设且X,Y相互独立，则)(~),1,0(~2nYNXnYXT)(~nt1、定义mYnXF//),(~mnFF所服从的分布称为F分布。记为设，且X与Y相互独立，则随机变量),(~2nX)(~2mY第一自由度第二自由度),(~mnF数理统计前一页后一页返回广东工业大学1021,,,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF),4(bFab,例4设随机变量是取自总体X的简单服从分布，则随机样本，已知统计量。),,0(~NX数理统计前一页后一页返回广东工业大学1021,,,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF),4(bFab,例4设随机变量是取自总体X的简单服从分布，则随机样本，已知统计量。解:由已知),,0(~2NX有).1,0(~NX从而1021,,,XXX均服从分布，且相互独立。)1,0(N由卡方分布的定义有)4(~)()()(2242221XXXU)6(~)()()(22102625XXXV且U与V相互独立，于是，由F分布的定义得)6,4(~6/4/FVU),,0(~NX数理统计前一页后一页返回广东工业大学),,0(~NX1021,,,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF),4(bFab,例4设随机变量是取自总体X的简单服从分布，则随机样本，已知统计量。)4(~)()()(2242221XXXU)6(~)()()(22102625XXXV且U与V相互独立，于是，由F分布的定义得)6,4(~6/4/FVU即)6,4(~6/)(4/)(210292827262524232221FXXXXXXXXXX数理统计前一页后一页返回广东工业大学1021,,,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF),4(bFab,例4设随机变量是取自总体X的简单服从分布，则随机样本，已知统计量。即)6,4(~6/)(4/)(210292827262524232221FXXXXXXXXXX比较即得,23a.6b),,0(~NX