第24章《圆》复习

圆的复习通过图形的运动，研究了点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，并得出这些位置关系与圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心之间的距离有关。本章利用圆的对称性，探索得出了圆的一些基本性质：在同圆或等圆的弧、弦与圆心角之间的关系；同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。在了解了直线与圆的位置关系的基础上，进一步认识了圆的切线垂直于经过过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的切线，它们的切线长相等。圆中的计算与圆有关的位置关系圆的基本性质一、知识结构圆点与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积,弧长,圆锥的侧面积和全面积弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性切线圆的切线切线长二、主要定理（一）、相等的圆心角、等弧、等弦之间的关系（二）、圆周角定理（三）、与圆有关的位置关系的判别定理（四）、切线的性质与判别（五）、切线长定理ABCDPO.１、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧2、母子相似3、直径所对的圆周角是直角三、基本图形（重要结论）(一)BCDPOE１、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧2、同弧所对的圆周角是圆心角的一半(二)BCAＤＦＥO已知ΔABC内接于⊙O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，则OD:OF:OE=（）分析:1）找基本图形2）在RtΔBOD中，设半径为r,则cos∠BOD=cosA=OD:rcos∠COF=cosB=OF:rcos∠AOE=cosC=OE:rA.sinA:sinB:sinCB.cosA:cosB:cosCC.tanA:tanB:tanCD.cotA:cotB:cotCB∠BOD=∠BAC，∠COF=∠ABC，∠AOE=∠ACB；切线长定理母子相似垂直于弦的直径平分弦ＯＡＰＢ(三)E如图,若AB,AC与⊙O相切与点B,C两点,P为弧BC上任意一点,过点P作⊙O的切线交AB,AC于点D,E,若AB=8,则△ADE的周长为_______;EDAOBCP16cm①若∠A=70°,则∠BPC=___;125°NMAOBCP②过点P作⊙O的切线MN,∠BPC=______________;(用∠A表示)90°-∠A21MABCDFE...acbS△ABC=C△ABC·r内21AD=AF=(b+c-a)21BD=BE=(a+c-b)21CE=CF=(a+b-c)21.(四)、Rt△ABC的外接圆半径等于斜边的一半DABCAABC△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与顶点C的距离是_______;A.5cmB.6cmC.7cmD.8cmRt△ABC的内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半已知△ABC外切于⊙O,(1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD=__;BE=__;CF=__;(2)若C△ABC=36,S△ABC=18,则r内=_____;(3)若BE=3,CE=2,△ABC的周长为18,则AB=____;S△ABC=C△ABC·r内21FDEoBCA18463517ABCDAB＋CD＝AD＋CB(五)、相交两圆的连心线垂直平分公共弦AO1O2B已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B（如图）求证：O1O2是AB的垂直平分线证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B∵O1A=O1B∴O1点在AB的垂直平分线上∵O2A=O2B∴O2点在AB的垂直平分线上∴O1O2是AB的垂直平分线半径分别是20cm和15cm的两圆相交，公共弦长为24cm，求两圆的圆心距？O1O2=O2C-O1C=16-9=7.O1O2=O2C+O1C=16+9=25.（六）如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式：①r=d+h,②4r2=4d2+a2③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是()A.①B.①②C.①②③D.②③Crhad四、小试牛刀1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是()A.经过点A且半径为R作圆;B.经过点A、B且半径为R作圆;C.经过△ABC的三个顶点作圆;D.过不在一条直线上的四点作圆;2.能在同一个圆上的是()A.平行四边形四个顶点;B.梯形四个顶点;C.矩形四边中点;D.菱形四边中点.CC3.两圆的圆心都是点O,半径分别r1,r2,且r1＜OP＜r2,那么点P在()A.⊙O内B.小⊙O内C.⊙O外D.小⊙O外,大⊙O内4.下列说法正确的是()A.三点确定一个圆;B.一个三角形只有一个外接圆;C.和半径垂直的直线是圆的切线;D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.DB5.与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角形的()A.三条中线的交点;B.三条角平分线的交点;C.三条高线的交点;D.三边中垂线的交点;6.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm,则直线与圆()A.有两个交点;B.有一个交点;C.没有交点;D.交点个数不定DC7.若两圆的半径分别为R,r,圆心距为d,且满足R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关系为()A.内切B.内切或外切C.外切D.相交由题意:R2+d2－2Rd=r2即:(R－d)2=r2∴R－d=±r∴R±r=d即两圆内切或外切8.(苏州市)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()A．35°B.70°C．110°D.140°D9、(广州市)如图，A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，过点A且长小于8的()A.0条B.1条C.2条D.4条A过点A且弦长为整数的弦有()条410、在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，若以A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则∠ABC的度数为（）A、30°B、60°C、90°D、120°ACB22DA11、定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是1cm,若⊙P和⊙0相切,则符合条件的圆的圆心P构成的图形是（）解:(1)若⊙0和⊙P外切，则OP＝R+r=5cm∴P点在以O为圆心,5cm为半径的圆上；(2)若⊙0和⊙P内切，则OP=R-r=3cm∴P点在以O为圆心,3cm为半径的圆上。解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x依题意得：3x-2x=8，解得：x=8∴R=24cm，r=16cm∵两圆相交，∴R-rdR+r∴8cmd40cm12、两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是（）13.△ABC中,∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所得的弦长相等.则∠BOC=____.A.140°B.135°C.130°D.125°EMNGFDBCAOPQR∠BOC＝90°+∠A21D14、一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只狸猫应蹲在何处，才能最省力地顾及到三个洞口?【解析】在农村、城镇上这是一个狸猫捉老鼠会遇到的一个问题，我们可以为这个小动物设计或计算出来.这个问题应考虑两种情况：设三个洞口分别为A、B、C三点，又设A、C相距最远①当△ABC为钝角三角形或直角三角形时，AC的中点即为所求.②当△ABC为锐角三角形时，△ABC的外心即为所求.15.梯形ABCD外切于⊙O,AD∥BC,AB=CD,（1）若AD=4,BC=16,则⊙O的直径为_______;CDOAB10MN（2）若AO=6,BO=8,则S⊙O=_______;π25576816、如图,AB是半⊙O的直径,AB=5,BC=4,∠ABC的角平分线交半圆于点D,AD,BC的延长线相交于点E,则四边形ABCD的面积是△DCE的面积的()A.9倍B.8倍C.7倍D.6倍OABCDE.1103BACDE4517、如图,AB是半圆O的直径,CD是半圆O的直径,AC和BD相交于点P,则=()A.sin∠BPCB.cos∠BPCC.tan∠BPCD.tan∠BPCACDBP.OABCDB18、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若⊙P与这两个圆都相切,则下列说法正确的有()①⊙P的半径可以是2cm;②⊙P的半径可以是10cm;③符合条件的⊙P有无数个,且点P的路线是曲线;④符合条件的⊙P有无数个,且点P的路线是直线;A.1个B.2个C.3个D.0个19.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是___________;86ABCD相切设⊙O的半径为r,则当______________时,⊙O与线段AB没交点;当______________时,⊙O与线段AB有两个交点;当______________时,⊙O与线段AB仅有一交点;0＜r＜4.8或r＞84.8＜r≤6r=4.8或6＜r≤8第23章圆(复习二)扬州市梅岭中学戴蔚四、综合应用能力提升1、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2)图(1)中OC=120∴CD=80(mm)图(2)中OC=120∴CD=OC+OD=320(mm)2、已知AB是⊙O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使得AD=1,求∠CAD的度数.2ADCB45°D60°15°∴∠CAD=105°或15°说明:圆中的计算问题常会出现有两解的情况,在涉及自己作图解题时,同学们要仔细分析,以防漏解.5.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为1，那么这条弦所对的圆周角为（)30°或135°3、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,以CD为直径的圆与AB相切于点E,S梯形ABCD=21cm2,周长为20cm,则半圆的半径为()A.3cm;B.7cm;C.3cm或7cm;D.2cmABCDO..E分析:基本图形:切线长定理,切线的性质与判定,直角梯形.xxyy找等量关系:2x+2y+2r=20(x+y)×2r÷2=21∴x+y=7,r=3或x+y=3,r=7(不符合,舍去)A4、已知⊙O1和⊙O2外切与点A,PA与两个圆都相切,过点P分别作PB,PC与⊙O1⊙O2相切,则()A.∠1=2∠3;B.∠2=∠3;C.∠1=2∠2;D.∠1=∠2+∠3;231CPABO1O2A连结AB,若∠PAB=70°,∠PBC=55°则∠PAC=____°754.(临汾)张师傅要用铁皮做成一个高为40cm，底面半径为15cm的圆柱形无盖水桶，需要铁皮cm2（接缝与边沿折叠部分不计，结果保留π）1425π5.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型，设底圆的半径为r，扇形半径为R，则r与R之间的关系为()A.R=2rB.C.R=3rD.R=4rrR49D6.已知如图(1)，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离.解：侧面展开图如图(2)(1)(2)2π×1=，n=90°SA=4，SC=2∴AC=2.即小虫爬行的最短距离为25.on180457、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。（只要画出图形，并直接写出扇形半径）CAB分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上相切的情况有两种（1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）（2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）（1）与一直角边相切可如图所示（2）与一斜边相切如图所示（3）与两直角边相切如图所示（4）与一直角边和一斜边相切如图所示解：可以设计如下图四种方案：r1=4r2=2r3=2r4=4-422BCA.OＤＥ8、已知,ΔABC内接于⊙O,A