第24章圆复习与小结

第24章圆复习与小结本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆正多边形和圆知识树点、直线与圆的位置关系弧长和扇形面积圆的基本性质圆确定圆的条件正多边形和圆点、直线与圆的位置关系圆的基本性质知识树轴中心旋转垂径定理内切圆等分圆扇形面积弧长和扇形的计算圆心角，圆周角定理外接圆切线的性质和判定弧长圆锥的侧面积和全面积几个相关概念与计算能力树圆数形结合思想运动变化观点分类、方程思想辅助线规律1.圆的定义辨析篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义2.圆的定义（集合观点）一个圆把平面内的所有点分成了多少类？你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；到定点的距离等于定长的点都在圆上。弦和直径什么是弦？什么是直径？直径是弦吗？弦是直径吗？弧与半圆什么是圆弧（弧）？怎样表示？弧分成哪几类？半圆是弧吗？弧是半圆吗？弓形是什么？有几种类型？同心圆、同圆、等圆和等弧怎样的两个圆叫同心圆？怎样的两个圆叫等圆？同圆和等圆有什么性质？什么叫等弧？与圆有关的概念圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。圆的性质垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.1.定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.(1)直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?()错●OABCDM└（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理推论1垂径定理推论●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧例.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cm推论2：圆内的两条平行弦所夹的弧相等1.两个同心圆的直径分别为5cm和3cm，则圆环部分的宽度为_____cm；2.如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来;3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为cmABCDEmnOOAB图1图2练一练5.如图,是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所在的半径长.⌒AB4.M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OM=_____cm.ABCP6.如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OABDA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′圆心角、弧、弦、弦心距的关系圆周角定理及推论●OABC●OBACDE●OABC定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.推论：1.同弧(或等弧）所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等2.直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形ABCDO1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____；2、已知AB,CD是同圆的两段弧，且AB=2CD，则弦AB与CD之间的关系为（）；A.AB=2CDB.AB＜2CDC.AB＞2CDD.不能确定3、如图2，⊙O中AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于()；A．150°B．130°C．120°D．60°4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC=；若O为△ABC的内心，∠BOC=．⌒⌒⌒⌒⌒⌒图1图2练一练5.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.OBA60°30°或150°CAOB6.已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=140°，求∠B的度数．7.平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.∵∠AOC=140°∴∠D=70°∴∠B=180°－70°=110°2或4cm(2)点在圆上(3)点在圆外(1)点在圆内1.点和圆的位置关系．．．．ACB如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:点与圆的位置关系d与r的关系点在圆内点在圆上点在圆外d＜rd＝rd＞r与圆有关的位置关系:1.如图,OA是⊙O的半径,已知AB=OA,试探索当∠OAB的大小如何变化时点B在圆内?点B在圆上?点B在圆外?•ABO3.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内部B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外部D．点A不在⊙O上OP2.有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值范围是＿＿＿＿＿.r＜OP＜R1、直线和圆相交dr;dr;2、直线和圆相切3、直线和圆相离dr.2.直线与圆的位置关系●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐=切线的判定定理定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图∵OA是⊙O的半径,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.CD●OA（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.∵CD切⊙O于Ａ,OA是⊙O的半径CD●OA∴CD⊥OA.切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。如①②③①③②②③①从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.ABP●O12ABC●┗┓ODEF●ABC●O●┓ODEF.21cbarS.2cbar切线长定理及其推论:直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积.∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∠1=∠2反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，先应当假设这个三角形中A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°1、两个同心圆的半径分别为3cm和4cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____cm；2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；3、下列四个命题中正确的是（）．①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．A.①②B.②③C.③④D.①④ABPO练一练4.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.F过D点作DF⊥AC于F点，然后证明DF等于圆D的半径BDABCDO只要连接OC，而后证明OC垂直CD5.如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.(1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由;(2)AC=_____，请给出合理的解释.3.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心ABCO实质性质三角形的外心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OCAB┐●OABC●O三角形的外心是否一定在三角形的内部？等边三角形的外心与内心重合.特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD一、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；（）2、直角三角形的外心是斜边的中点．（）二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比．三、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．30cm2练一练1.过一点的圆有________个2.过两点的圆有_________个，这些圆的圆心的都在_______________上.3.过三点的圆有_______个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形____，直角三角形的外心在三角形__，钝角三角形的外心在三角形____。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线在斜边的中点上五.填空圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（）A、1∶2∶3∶4B、1∶3∶2∶4C、4∶2∶3∶1D、4∶2∶1∶34.四边形与圆的位置关系交点个数名称0外离1外切2相交1内切0内含同心圆是内含的特殊情况d,R,r的关系dRrdR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r5.圆与圆的位置关系正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等，三个角也相等（60度）四条边都相等，四个角也相等（90度）6.正多边形和圆：正多边形有关概念2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．ABFCEG边心距r半径R中心角O边2221()2adROABCRd12aaD1.正多边形的各边相等，正多