8-6多元函数微分法的几何应用举例

设空间曲线的方程)1()()()(tztytxozyx(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面MM0tt时，对应点为000(,,);Mxyz0ttt时，对应点为000(,,)Mxxyyzz考察割线趋近于极限位置——切线的过程zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM,000zzzyyyxxx割线的方程为MM割线的方向向量为{,,}xyzMM,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.)(),(),(000tttT法平面：过M点且与切线垂直的平面.0))(())(())((000000zztyytxxt,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzztyytxxozyxMMT切平面方程及法线方程。例1求曲线在点的23,,xtytzt(1,1,1)解.)()()(000000tzztyytxx求导21,2,3tttxytzt方向向量的各分量211111|1,|2|2,|3|3ttttttttxytzt故切线方程为111123xyz法平面方程为(1)2(1)3(1)0xyz点法式方程1.空间曲线方程为,)()(xzxy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzxyyxx.0))(())(()(00000zzxyyxxx法平面方程为切线方程为特殊地：练习：P1061.3.设曲面方程为0),,(zyxF)},(),(),({000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx二、曲面的切平面与法线nTM0),,(zyxF,)()()(:tztytx把曲线的参数方程代入曲面方程(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyztFxyztFxyzt000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xyzFxyztFxyztFxyzt两边求关于t的导数，得得((),(),())0Fttt)},(),(),({000tttT已知)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT取得0tt则,Tn由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面.切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxnTM)},,(),,,(),,,({000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.通过点),,(000zyxM而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx及法线方程。解222(,,)14Fxyzxyz(,,)2,(,,)2,(,,)2.xyzFxyzxFxyzyFxyzz(1,2,3)2,(1,2,3)4,(1,2,3)6.xyzFFF例2求球面在点（1,2,3）处的切平面22214xyz法向量{2,4,6}n切平面方程2(1)4(2)6(3)0xyz法线方程123246xyz特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令{,,1}xynff法向量0000000(,)()(,)()()0xyfxyxxfxyyyzz曲面在处的切平面方程为000(,,)Mxyz例3求旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.解,1),(22yxyxf)4,1,2()4,1,2(}1,2,2{yxn},1,2,4{切平面方程为,0)4()1(2)2(4zyx,0624zyx法线方程为.142142zyx))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxyxfz因为曲面在M处的切平面方程为全微分的几何意义),(yxfz在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz在点),,(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量.练习4.求曲面32xyezz在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解,32),,(xyezzyxFz,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy,01)0,2,1()0,2,1(zzeF令切平面方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4zyx,042yx.001221zyx思考题求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx类似于P1066.因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结作业P100-1013.4.6.P1062.4.7.思考题如果平面01633zyx与椭球面163222zyx相切，求.思考题解答},2,2,6{000zyxn设切点),,,(000zyx依题意知切向量为}3,,3{32236000zyx,00xy,300xz切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020xxxxxx.2一、填空题:1、曲线2,1,1tzttyttx再对应于1t的点处切线方程为________________；法平面方程为________________.2、曲面3xyzez在点)0,1,2(处的切平面方程为__________________；法线方程为__________________.二、求出曲线32,,tztytx上的点,使在该点的切线平行于平面42zyx.三、求球面6222zyx与抛物面22yxz的交线在)2,1,1(处的切线方程.练习题四、求椭球面12222zyx上平行于平面02zyx的切平面方程.五、试证曲面)0(aazyx上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.一、1、011682,8142121zyxzyx；2、02112,042zyxyx.二、)271,91,31()1,1,1(21PP及.三、0202021111zyxzyx或.四、2112zyx.练习题答案