8-9二元函数的Taylor公式

高等数学（下）河海大学理学院第九节二元函数的Taylor公式高等数学（下）).10()()!1()()(!)()(2)())(()()(1000)1(00)(200000nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：问题：能否用多元多项式来逼近一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？一、二元函数的泰勒公式高等数学（下）定理设),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内连续且有直到1n阶的连续偏导数,),(00hyhx为此邻域内任一点,则有余项nRk)10(),,()!1(1),(!1),(!21),(),(),(00100002000000kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnnk高等数学（下）其中记号),(00yxfykxh),,(),(0000yxkfyxhfyx＝),(002yxfykxh＝),,(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx一般地,记号表示),(00yxfykxhm.),(000yxpmpmpmpmppmyxfkhC高等数学（下）(2)当0n时,泰勒公式成为),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.注(1)该定理称为),(yxf在点),(00yx的n阶泰勒公式,而余项nR又称为拉格朗日型余项.高等数学（下）推论如果函数),(yxf的偏导数),(yxfx,),(yxfy在某一邻域内都恒等于零,则函数),(yxf在该区域内恒为常数.在[0，1]上，由Langrage中值定理，存在θ∈（0，1），使得)()0()1(证引入函数).10(),,()(00tktyhtxft),,()0(00yxf).,()1(00kyhxf显然高等数学（下）证引入函数).10(),,()(00tktyhtxft显然),,()0(00yxf).,()1(00kyhxf由的定义及多元复合函数的求导法则,可得)(t),,(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx高等数学（下）),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC由归纳假设，得高等数学（下）利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(!21)0()0()1()1()(nnnn将),()0(00yxf,),()1(00kyhxf及上面求得的)(t直到n阶导数在0t的值,以及)()1(tn在t的值代入上式.即得高等数学（下）)1(,),(!1),(!21),(),(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf其中)2().10(),,()!1(1001kyhxfykxhnRnn高等数学（下）(3)在泰勒公式中,如果取0,000yx,则公式成为n阶麦克劳林公式.),,()!1(1)0,0(!1)0,0(!21)0,0()0,0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn)10()5(高等数学（下）注：若二元函数的各阶导数在点),(00yx的某一邻域内有界M.于是,有下面的误差估计式:),(yxfz　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)3(,!12!1111nnnnMnkhnMR其中.22kh由)3(式可知,误差nR是当0时比n高阶的无穷小.高等数学（下）例1求函数)1ln(),(yxyxf的三阶麦克劳林公式.解,11),(),(yxyxfyxfyx,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx,)1(!2333yxyxfpp),3,2,1,0(p,)1(!3444yxyxfpp),4,3,2,1,0(p高等数学（下）,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx,)(2)0,0()0,0(3)0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx高等数学（下）又0)0,0(f,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx其中).10(,)1()(41),(!414443yxyxyxfyyxxR高等数学（下）例2设xyyxfcos1),(2写出)1,0(),(在yxf点处的二阶泰勒多项式.解,cos1,sin1,2)1,0(22xyyfxyffyx,221)1,0(,0)1,0(,2)1,0(yyxyxxfff,21)1,0(,0)1,0(yxff,cos)1(,sin1,cos123222xyfxyyfxyfyyxyxx))1(2212(21)1(212),(22yxyyxf高等数学（下）二、极值充分条件的证明定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2．高等数学（下）则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值.证依二元函数的泰勒公式，对于任一)(),(0100PUkyhx有),(),(0000yxfkyhxff高等数学（下）),(2),([2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx)],(002kyhxfkyy).10()6()1(设02BAC,即.0),(),(),(2000000yxfyxfyxfxyyyxx)7(因),(yxf的二阶偏导数在)(01PU内连续,由不等式)7(可知,存在点0P的邻域)()(0102PUPU,使得对任一)(),(0200PUkyhx有高等数学（下）.02xyyyxxfff)8(注:将),(yxfxx在点),(00kyhx处的值记为xxf,其他类似.由)8(式可知,当)(),(0200PUkyhx时,xxf及yyf都不等于零且两者同号.于是)6(式可写成.21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff高等数学（下）当kh、不同时为零且)(),(0200PUkyhx时,上式右端方括号内的值为正,所以f异于零且与xxf同号.又由),(yxf的二阶偏导数的连续性知xxf与A同号,因此f与A同号,当0A时),(00yxf为极小值,当0A时),(00yxf为极大值.)2(设02BAC,即.0),(),(),(2000000yxfyxfyxfxyyyxx)9(高等数学（下）先假定,0),(),(0000yxfyxfyyxx则.0),(00yxfxy分别令hk及hk,则由)6(式可得],),(2),([21010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx及],,),(2),([22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx其中.1,021高等数学（下）当0h时,以上两式方括号内的式子分别趋于极限),,(2),(20000yxfyxfxyxy及从而当h充分接近零时,两式方括号内的值有相反的符号,因此f可取不同符号的值,所以),(00yxf不是极值.再证),(),(0000yxfyxfyyxx与不同时为零的情形.不妨.0),(00yxfxy先取0k,于是由)6(式得).,(21002yhxfhfxx高等数学（下）当h充分接近零时,f与),(00yxfxx同号.但如果取,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy其中s是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当s充分小时,f与),(00yxfxx异号.如此证明了:在点),(00yx的任意邻近,f可取不同符号的值,因此),(00yxf不是极值.)3(考察函数42),(yxyxf及.),(32yxyxg高等数学（下）容易验证,这两个函数都以)0,0(为驻点,且在点)0,0(处都满足02BAC.但),(yxf在点)0,0(处有极小值,而),(yxg在点)0,0(处却没有极值.