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九章算术第一章方田•方田：中国古代称正方形及矩形为方田•“方田者，田之正也。诸田不等，以方为正，故曰方田。”•第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。1、今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。解读：现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是多少？答：一亩数学表达式：15×16/240=1（亩）•2、又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？•答曰：一百六十八步。•方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。•解读：有一块田，宽十二步，长十四步。问这块田的面积是多少？•答：一百六十八步•数学表达式：12×14=168（步）•广：宽从：长•亩法：平方步化为亩时所用的除数240•术曰：廣從步數相乘得積步•刘徽对此注曰：“此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂”这里刘徽为了行文方便，先说结论，然后说大前提（幂的定义），而把《九章算术》的术文作为小前提。这里体现了刘徽思想中的演绎法（从普遍性结论或推导出个别性结论的论证方法）。•3、今有田廣一里，從一里。問為田幾何？•答曰：三頃七十五畝。•解读：现有方田，宽一里，长一里。问这块田的面积是多少？•答：三顷七十五亩•方田术语：里法三百步•数学表达式：1*1*300*300/240=375(亩)，即三顷七十五亩•4、又有田廣二里，從三里。問為田幾何？•答曰：二十二頃五十畝。•里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。•解读：•又有一方田，宽两里，长三里。问此块田的面积是？•答：二十二顷五十亩•里田计算方法：长宽里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。•数学表达式：2*3*375=2250（里积），即二十二顷五十亩。•田里：计算边长以里为单位的田地面积单位•积里：边长以里为单位的面积的平方数。•5、今有十八分之十二。問約之得幾何？•答曰：三分之二。•解读：•现有十八分之十二，问约分后等于多少？•答：三分之二•数学表达式：12/18=2/3•6、又有九十一分之四十九。問約之得幾何？•答曰：十三分之七。•約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。•解读：•又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？•答：十三分之七•约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。•7、今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？•答曰：十五分之十一。•解读：•现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？•答：十五分之十一。•数学表达式：1/3+2/5=11/15•8、又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？•答曰：得一、六十三分之五十。•解读：•又有三分之二、七分之四和九分之五，问这三个数相加等于多少？•答：一又六十三分之五十。•数学表达式：2/3+4/7+5/9=1+50/63•9、又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？•答曰：得二、六十分之四十三。•合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。•解读：•又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？•答：二又六十分之四十三。•合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。•10、今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？•答曰：四十五分之三十一。•解读:•现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？•答：四十五分之三十一•数学表达式：8/9-1/5=31/45•11、又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？•答曰：十二分之五。•減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。•解读：•又有四分之三，减去三分之一，问剩下多少？•答：十二分之五•减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。•12、今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？•答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。•解读：•现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？大多少？•答：二十五分之十六大，大二百分之三•数学表达式：5/816/25,16/25-5/8=3/200•13、又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？•答曰：九分之八多，多六十三分之二。•解读：•又有九分之八、七分之六。问哪个数大？大多少？•答：九分之八大，大六十三分之二。•数学表达式：8/96/7,8/9-6/7=2/63•14、又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？幾何？•答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。•課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。•解读：•又有二十一分之八和五十分之十七，问哪个大？大多少？•答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。•课分法：分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。•课分：比较两数的大小，并考核表达分数比较小分数大多少•15、今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？•答曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。•解读：现有三分之一、三分之二、四分之三，问减去多的补给少的各多少就一样了？•答：减3/4二份，减2/3一份，并把这些补给1/3，就一样多，一样时为7/12•16、又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？•答曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。•几何：多少•平分术：计算分数的平均算法•17、今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？•答曰：人得一錢、二十一分錢之四。•解读：•现有七个人，均分八又三分之一钱。问每人分得多少钱？•答：每人得一又二十一分之四钱。•18、又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？•答曰：人得二錢、八分錢之一。•經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。•经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。•经分数：分数相处的运算法则•重有分者同而通之：若分母、分子都带有分数的，均需化为假分数运算•19、今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？•答曰：三十五分步之十二。•解读：•现有方田宽为七分之四，长为五分之三。问此块田的面积为？•答：三十五分之十二步•20、有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？•答曰：十一分步之七。•解读：•又有方田宽九分之七，长十一分之九。问该方田的面积是？•答：十一分之七步•21、又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？•答曰：九分步之四。•乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。•解读：•又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。问该方田的面积是？•答：九分之四步。•22、今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？•答曰：十八步。•解读：•现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？•答：十八步。•23、又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？•答曰：一百二十步、九分步之五。•解读：又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。问该块方田的面积是？•答：一百二十又九分之五步。•24、又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？•答曰：一畝二百步、十一分步之七。•大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。•解读：•又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。问该块方田的面积是？•答：一亩两百又十一分之七步。•圭：三角形•广：三角形的底边长•正从：三角形底边长的高•25、今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？•答曰：一百二十六步。•解读：•现有等腰三角形田边为十二步，高为二十一步。问该田面积是？•答：一百二十六步。•数学表达式：S=1/2*l*h=1/2*12*21=126•26、又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？•答曰：二十三步、六分步之五。•術曰：半廣以乘正從。•解读：•有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？•答：二十三又六分之五步。•数学表达式：S=1/2*l*h=1/2*(5+1/2)*(8+2/3)=23+5/6•计算方法：底边长的一半乘以高。•圭田就是等腰三角形的田地。•广:底正纵：高•刘徽注：半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。•这就是利用“出入相补原理”把等腰三角形通过分、割、移、补使之成为长方形，按长方形。面积计算法计算•刘徽注：按半广乘从，以取中平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。中平之数字面的意思就是平均数，但实际上也就是取等腰三角形左半边底与右半边底和的一半的意思•27、今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？•答曰：九畝一百四十四步。•解读：•现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。问该块田的面积是多少？•答：九亩一百四十四步。•数学表达式：S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(30+42)*64=2304(积步),即九亩四十四步•28、又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？•答曰：二十三畝七十步。•術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。•解读：•又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。问该田的面积是多少？•答：二十三亩七十步。•数学表达式：S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(100+72)*65=5590，即二十三亩七十步•计算方法：取两边长的一半，乘以正从（宽）。也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。•邪田：直角梯形邪字即是斜字，是针对正来说的，斜田是与直田相对的•术曰：并兩邪而半之。两邪当是指教体香的两底，由于其位置的不同，而名称也不一样，古时候称：东西为广，南北为纵，称上下为头，左右为畔•刘徽注：并而半之者，以盈补虚也。这里显然是并两邪而半之的省略•取高的一半，并不是底的一半•29、今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？•答曰：一畝一百三十五步。•解读：•现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。问此块田的面积是多少？•答：一亩一百三十五步•数学表达式：S=1/2*(b上+b下)*h=1/2*(20+5)*30=375(积步)，即一亩三十五步。•30、又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？•答曰：四十六畝二百三十二步半。•術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。•解读：•又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。问该田的面积是多少？•答：四十六亩二百三十二步半•计算方法：取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。•箕田：等腰梯形的田地•刘徽注:中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。•箕田面积公式=1/2x(踵广+舌广)x正纵•为了推证以上三种类型的图形面积，刘徽创造了“出入相补”原理。所谓“出入相补”原理，就是一般所说的“割补法