搜索
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都卡在了瓶口。又开始了第二次实验？这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。运筹帷幄，决胜千里算法案例之求最大公约数求以下几组正整数的最大公约数。(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示m和n的最大公约数。)（1）（18，30）（2）（24，16）（3）（63，63）（4）（72，8）（5）（301，133）解：21824用公有质因数2除，3912用公有质因数3除，343和4互质不除了。得：18和24最大公约数是：2×3＝6想一想，如何求8251与6105的最大公约数？例、求18与24的最大公约数：6；8；63；8；7；短除法开始i=m+1输入：m,nmMODi=0且nMODi=0?i=i-1输出：i结束YNmn?t=m,m=n,n=tNY穷举法（也叫枚举法）步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。穷举法定理：已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤rn）（即r=mMODn）,则（m,n）=(n,r)。辗转相除法分析：m=nq+r……①r=m-nq……②例1、求8251和6105的最大公约数。148=37×4=378251=6105×1+2146（8251，6105）=（6105，2146）6105=2146×2+1813=（2146，1813）2146=1813×1+333=（1813，333）1813=333×5+148=（333，148）333=148×2+37=（148，37）解：练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417次数123456mnr8251和6105的最大公约数解：8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4（8251，6105）=（6105，2146）=（2146，1813）=（1813，333）=（333，148）=（148，37）=37关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况82516105214661052146214618131813333181333314814833337148370辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？如此循环，直到得到结果。①输入两个正整数m和n；②求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中；③更新被除数和余数：m=n，n=r。④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转向第②步继续循环执行。开始输入：m,n输出：m结束r=0?m=nNYr=mMODnn=r程序：INPUT“m，n=”;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND更相减损术同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法）步骤：第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。例、用更相减损术求98与63的最大公约数（自己按照步骤求解）解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。=7所以，98和63的最大公约数等于7。（98，63）=（63，35）98-63=3563-35=28=（35，28）35-28=7=（28，7）28-7=21=（21，7）21-7=14=（14，7）14-7=7=（7，7）练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）45982417例用更相减损术求98与63的最大公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=7所以，98和63的最大公约数等于7。（98，63）=（63，35）=（35，28）=（28，7）=（21，7）=（14，7）=（7，7）=7次数123456a986335282114b633528777c3528721147关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤，这实际也是一个循环结构思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？程序：INPUT“a,b”;a,bi=0WHILEaMOD2=0ANDbMOD2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIFbaTHENt=aa=bb=tENDIFa=a-bLOOPUNTILa=bPRINTa*2^iEND开始输入：a,b输出：a×2i结束a=b?a=a/2,b=b/2Ya=a-bt=a,a=b,b=tba?aMOD2=0且bMOD2=0?YNNNYi=0i=i+1辗转相除法与更相减损术的区别：小结（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。作业：P38习题：1.3第一题DD必兆棋牌