第八章 马尔柯夫预测法

第十一章马尔柯夫预测法第一节马尔柯夫链简介第二节马尔柯夫链预测法第三节市场占有率预测第四节期望利润预测在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：（1）确定性现象（在一定条件下必然出现）；（2）随机现象（掷硬币、射手打靶等）。随机现象的统计规律性：同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随机现象也具有其固有的规律性。马尔柯夫预测法：应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究有关经济现象变化规律并藉以此预测未来状况的一种方法。经济现象中存在着一种“无后效性”“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻的状态”。（以例子来说明）例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始时刻t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，它可能跳到第一张或第三张荷叶，也可能在原地不动。我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态的无关。这种性质就是所谓的“无后效性”。第一节马尔柯夫链简介马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。具备这个性质的离散性随机过程，称为马尔柯夫链。基本概念：1、状态：在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻t所出现的某种结果，就是该系统在该时间t所处的状态。定义1状态随机变量，定义为：它表示随机运动系统，在时刻t（t=1，2，…）所处的状态为i（i=1，2，…，N）。,2,1,,2,1tNiiXt基本概念2、状态转移概率概率论中的条件概率：P（A|B）就表达了由状态B向状态A转移的概率，简称为状态转移概率。对于由状态Ei转移到状态Ej的概率，我们称它为从i到j的转移概率。记为：)|()()|(1ixjxPEEPEEPPnnjiijij例1某地区有甲乙丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知1990年5月份甲厂的顾客是500户；乙厂的顾客是400户；丙厂的顾客是100户。6月份，甲厂有400户原来的顾客，上月的顾客有50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300户原来的顾客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；丙厂有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂，10户转乙厂。试计算其状态转移概率。6月份顾客转移表状态转移概率从到甲乙丙合计甲4005050500乙2030080400丙101080100合计430360210100011121321222331323340050500.80.10.150050050020300800.050.750.24004004001010800.10.10.8100100100PPPPPPPPP基本概念3、状态转移概率矩阵状态转移概率具有如下特征：并且，在一定条件下，系统只能在可能出现的状态E1，E2，…EN中转移。如于是，可有矩阵：NiPNjiPNjijij,2,11,,2,1,101),2,1(,,21NiPPPiNiiNNNNNNPPPPPPPPP212222111211定义2设矩阵P为称矩阵P为状态转移概率矩阵。定义3若系统在时刻t0处于状态i，经过n步转移，在时刻tn处于状态j。那么，对这种转移的可能性的数量描述称为n步转移概率。记为：并令则称P（n）为n步转移概率矩阵。当n=2时，为2步转移概率，P（2）为2步转移概率矩阵。NNNNNNPPPPPPPPPP212222111211)()|(0nPixjxPijn)()()()()()()()()()(212222111211nPnPnPnPnPnPnPnPnPnPNNNNNN例2某经济系统有三种状态E1，E2，E3（比如畅销，一般，滞销）。系统状态转移情况：如下表。试求系统的二步状态转移概率矩阵。次数系统下步所处状态E1E2E3系统本步所处状态E121714E216812E31082解：例1相同的步骤可得一步状态转移概率矩阵：二步转移概率矩阵可由一步转移概率矩阵求出即系统从状态i出发，经2步转移到状态j的概率等于系统从i出发经一步转移到k（k=1，2，…，N），然后再从状态k转移到j的概率的总和。故有：1.04.050.0334.0222.0444.0333.0167.050.0)1(P),,2,1()2(1NkPPPNkkjikij于是：22212222111211212222111211212222111211112111212211211121111212222111211)2()2()2()2()2()2()2()2()2()2(PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPNNNNNNNNNNNNNNNNNNNkkNNkNkkNkNkkNkNkkNkNkkkNkkkNkkNkNkkkNkkkNNNNNN31.021.048.025.026.049.026.025.049.01.04.05.0334.0222.0444.0333.0167.050.0)2(2P对于n步转移概率有：且n步转移概率与一步转移概率一样，具有性质：1.2.NkkjikijPnPnP1)1()(),,2,1,(0)(NjinPij),,2,1(1)(1NinPNjij第二节马尔柯夫链预测法马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来完成：第一步，划分预测对象所出现的状态。第二步，计算初始概率。在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。设有N个状态E1，E2，…EN。观察了M个时期，其中状态Ei（i=1，2，…，N）共出现了Mi次。于是Ei出现的频率fi，用fi近似表示Ei出现的概率（fi≈Pi）MMiif第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率来进行计算。首先计算状态的频率：从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转移状态Ej的个数Mij，于是得到：并让：第四步，根据转移概率进行预测。选择中最大者为我们的预测结果。jiEE)|(ijEEfiijijMM)E|f(EijijP)E|f(E)P,,P,(PiNi2i1例3某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下，试预测第21月的商品销售量。商品销售量统计表单位：千件时间t12345678910销售量40458012011038405062901112131415161718192011013014012055704580110120时间t销售量解：1、划分状态，按盈利状况为标准选取（1）销售量60千件属滞销；（2）60千件≤销售量≤100千件属一般；（3）销售量100千件属畅销。2、计算初始概率Pi由图，可算出处于：滞销状态的有M1=7；一般状态的有M2=5；畅销状态的有M3=8。0204060801001201401601234567891011121314151617181920销售量3、计算状态转移概率矩阵在计算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。由上图可得：M11=3M12=4M13=0M21=1M22=1M23=3M31=2M32=0M33=5从而所以4、预测第21月的销售情况由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率是：因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。即预测第21月的销售状态是“畅销”。75P70P72P53P51P51P70P74P73P3332312322211312117507253515107473P75P0P72P333231323133PPP第三节市场占有率预测马尔柯夫预测的基本原理是：本期市场占有率仅取决于上期市场占有率及转移概率。比如有1，2，3家工厂生产同种产品，它们在市场上现时占有的份额为：称为市场占有率初始向量。又知：为市场占有转移概率矩阵。)()0(3)0(2)0(10PPPS030201PPP333231232221131211PPPPPPPPPP由原理直接建立预测的数学模型为：写成矩阵形式为：同理，已知本期市场占有率，即可求出下期的市场占有率。)0(333)0(223)0(113)1(3)0(332)0(222)0(112)1(2)0(331)0(221)0(111)1(1PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP333231232221131211030201PPPPPPPPPPPPS比如第k期的市场占有率为：或第k期的市场占有率等于初始占有率与k步转移概率矩阵的乘积。k333231232221131211030201(k)3(k)2(k)1kPPPPPPPPPPPPPPPSkkPSS0例4已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为（0.30.40.3），且已知转移概率矩阵为试求本月份与下月份的市场占有率？8.01.01.02.07.01.02.02.06.0P解：1、求本月份市场占有率：2、求下月份市场占有率：计算结果说明，在顾客购买偏好改变不大情况下，下个月A牌洗衣粉市场占有率为22.5%，B牌洗衣粉的市场占有率为34.7%，C牌洗衣粉的市场占有率为42.8%。38.037.025.08.01.01.02.07.01.02.02.06.03.04.03.01S428.0347.0225.068.017.015.032.053.015.032.026.04.03.04.03.08.01.01.02.07.01.02.02.06.03.04.03.022S稳定的平衡状态稳定的（市场）平衡状态，就是顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。这时的市场占有率，称为终极市场占有率。定义4如果P为概率矩阵，且存在m0，使中诸元素皆非负非零。则称P为标准概率矩阵。例如：均为标准概率矩阵。是非标准概率矩阵。若P是标准概率矩阵，则必存在非零行向量使得,称为P的平衡向量。mP6.04.0104.06.06.04.021PP及5.05.001Pnxxx,,,21P例5设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，购买中国大陆味精的顾客占40%，购买日本、香港味精的顾客各占30%。顾客流动转移情况如下表所列，表中第一行表明，上月购买中国大陆味精的顾客，本月仍有40%购买，各有30%的顾客转移去购买日本和香港的味精。余类推。今设本月为第一个月，试预测第4个月味精市场占有率和预测长期的市场占有率。中国大陆日本香港中国大陆40%30%30%日本60%30%10%香港60%10%30%解：预测第4个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。三步转移概率矩阵为：4个月市场占有率为：即预测第4个月