新课标经典例题――必修5数列

Lovelife第1页共20页数列:1.等差数列{an}中，S150，S160，则使an0成立的n的最大值为()A．6B．7C．8D．9[答案]C[解析]S15＝15a80，∴a80，S16＝8(a8＋a9)0，∴a90，故选C.2.已知正项等比数列{an}中，a1a5＝2，则a3＝()A.2B．2C．4D．22[答案]A[解析]a23＝a1a5＝2，∵an0，∴a3＝2.3.(文)已知等比数列{an}的前n项的和为Sn，a3＝32，S3＝92，则公比q＝()A．1或－12B．－12C．1D．－1或12[答案]A[解析]当q＝1时，a3＝32，S3＝3a3＝92，当q≠1时，由a3＝32S3＝92得，a1q2＝32a11－q31－q＝92，Lovelife第2页共20页解得q＝－12，∴q＝1或－12.(理)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝034xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12[答案]C[解析]S3＝034xdx＝2x2|30＝18，又a3＝6，∴a1＋a2＝12，∴a1q2＝6a1＋a1q＝12，∴q＝1或－12.4.如果数列a1，a2a1，a3a2，…，anan－1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a5等于()A．32B．64C．－32D．－64[答案]A[解析]由条件知，anan－1＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1，∴a5＝a1·a2a1·a3a2·a4a3·a5a4＝1×(－2)·(－2)2·(－2)3·(－2)4＝32，故选A.5.(文)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝992，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64Lovelife第3页共20页[答案]A[解析]由a7＋a9＝16S11＝992，得2a1＋14d＝1611a1＋55d＝992，∴a1＝－174d＝74，∴a12＝a1＋11d＝15.(理)等差数列{an}前n项和为Sn，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是()A．S30是Sn中的最大值B．S30是Sn中的最小值C．S30＝0D．S60＝0[答案]D[解析]∵{an}为等差数列，S20＝S40，∴a21＋a22＋…＋a40＝0，S60＝(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋a22＋…＋a40)＋(a41＋a42＋…＋a60)＝3(a21＋a22＋…＋a40)＝0.6.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为()A．12B．18C．22D．44[答案]C[解析]∵S8＝8a1＋8×72d＝8a1＋28d，S3＝3a1＋3d，S8－S3＝10，Lovelife第4页共20页∴5a1＋25d＝10，∴a1＋5d＝2，∴a6＝2，∴S11＝11a6＝22.7.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44＋1B．3×44C．44D．44＋1[答案]B[解析]∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)，∴an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，∴an＋1an＝4，又a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝1n＝13×4n－2n≥2，∴a6＝3×46－2＝3×44，故选B.8.(文)在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10＝()A．9B．10C．11D．12[答案]C[解析]∵{an}是等差数列，令bn＝an＋an＋1，则{bn}也是等差数列，b2＝a2＋a3＝4，b4＝a4＋a5＝6，∴公差d＝12(b4－b2)＝1，∴b9＝a9＋a10＝b2＋7d＝4＋7＝11，故选C.(理)已知数列{an}为等比数列，且a5·a9＝2π3，则cos(a2·a12)＝()A.12B．－12C.32D．－32[答案]BLovelife第5页共20页[解析]∵{an}为等比数列，∴a2a12＝a5a9＝2π3，∴cos(a2a12)＝cos2π3＝cos(π－π3)＝－12.9.(文)等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝15，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为()A.23B.43C．2D．3[答案]B[解析]在等差数列{an}中，由5a1＋10d＝15，9a1＋36d＝18，，a1＝4d＝－12，∴a3＝3，a5＝2.∴b3＝3，b5＝2，所以b7＝b25b3＝43.(理)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝()A．35B．33C．31D．29[答案]C[解析]∵a2·a3＝2a1，∴a21q3＝2a1，∵a1≠0，∴a1q3＝2，即a4＝2，又∵a4＋2a7＝2×54＝52，∴a7＝14，∴a4q3＝14，∴q＝12，∴a1＝16，∴S5＝161－1251－12＝31.Lovelife第6页共20页10.(文)在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于()A．256B．510C．512D．1024[答案]C[解析]由条件知，a3＋3＝a3·a3，∴a23＝64，∵a30，∴a3＝8，∴a9＝a6＋3＝a6·a3＝64×8＝512.(理)已知数列{an}，{bn}满足a1＝12，an＋bn＝1，bn＋1＝bn1－a2n，则b2012＝()A.20112012B.20122011C.20122013D.20132012[答案]C[解析]∵an＋bn＝1，a1＝12，∴b1＝12，∵bn＋1＝bn1－a2n，∴b2＝b11－a21＝23，∴a2＝13，b3＝b21－a22＝34，a3＝14，b4＝b31－a23＝45，a4＝15，…，观察可见an＝1n＋1，bn＝nn＋1，∴b2012＝20122013，故选C.11.数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝(1＋sin2nπ2)an＋4cos2nπ2，则a9，a10的大小关系为()A．a9a10B．a9＝a10C．a9a10D．大小关系不确定Lovelife第7页共20页[答案]C[解析]a3＝(1＋sin2π2)a1＋4cos2π2＝2，a4＝(1＋sin2π)a2＋4cos2π＝5，a5＝(1＋sin23π2)a3＋4cos23π2＝4，易知当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝2k－1，当n＝2k(k∈N*)时，an＝1＋4(k－1)，∴a9＝25－1＝16，a10＝1＋4×(5－1)＝17，∴a9a10.12.(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a2OA→＋a2008OC→，且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2009＝()A．2009B.20092C．22009D．2－2009[答案]B[解析]∵A、B、C三点共线，∴a2＋a2008＝1，∵{an}为等差数列，∴S2009＝2009×a1＋a20092＝2009×a2＋a20082＝20092.(理)等差数列{an}中，ana2n是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为()A．{1}B．{1，12}C．{12}D．{0，12，1}[答案]B[解析]设an＝a1＋(n－1)d，并设ana2n＝t(t为常数)，则a1＋(n－1)d＝a1t＋(2n－1)dt，分离含n的项得(a1－d)(1－t)＝nd(2t－1)，∵此式关于n恒成立，∴d＝0或2t－1＝0，Lovelife第8页共20页①d＝0时，a1＝0，∴an＝a1，t＝1，②2t－1＝0时，t＝12，d＝a1，∴an＝na1，故选B.13.在递减等差数列{an}中，若a1＋a5＝0，则Sn取最大值时n等于()A．2B．3C．2或3D．3或4[答案]C[解析]a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0，∵{an}是递减数列，∴a1a2a3＝0a4，∴S2＝S3且最大，故选C.14.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝12，则S13等于()A．52B．54C．56D．58[答案]A[解析]∵{an}为等差数列，∴a3＋a7＋a11＝3a7＝12，∴a7＝4，∴S13＝13×a1＋a132＝13×2a72＝52，故选A.15.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2011＝3S2010＋2012，a2010＝3S2009＋2012，则公比q＝()A．4B．1或4C．2D．1或2[答案]A[解析]两式相减得a2011－a2010＝3a2010，∴a2011a2010＝4.16.在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝64，且前n项和Sn＝62，Lovelife第9页共20页则项数n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]a1·an＝a2·an－1＝64，由a1＋an＝34a1an＝64得a1＝2an＝32或a1＝32an＝2，∴qn－1＝16或116.当a1＝2，qn－1＝16时，2×1－16q1－q＝62，∴q＝2，n＝5；当a1＝32，qn－1＝116时，解得n＝5，故选B.17.(文)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n，则数列{an}的通项公式为________．[答案]an＝5－4n[解析]n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n)－[－2(n－1)2＋3(n－1)]＝5－4n，n＝1时，a1＝S1＝1也满足，∴an＝5－4n.(理)已知数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝________.[答案]100[解析]a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝(122＋12＋1)－(72＋7＋1)＝100.18.在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2.若an＝64，则n的值为________．[答案]7[解析]an＝a1qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.Lovelife第10页共20页19.等差数列{an}中，S10＝120，那么a2＋a9的值是________．[答案]24[解析]S10＝10×a1＋a102＝5(a2＋a9)＝120，∴a2＋a9＝24.20.若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2013＝________.[答案]3[解析]∵a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，∴a2＝4－a1＝1，a3＝4－a2＝3，a4＝4－a3＝1，a5＝4－a4＝3，……可见an＝3n为奇数1n为偶数，∴a2013＝3.21.(文)等差数列{an}中，已知a1＝3，a4＝12.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a2，a4分别为等比数列{bn}的第1项和第2项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.[解析](1)设数列{an}的公差为d，由已知有a1＝3a1＋3d＝12，解得d＝3.∴an＝3＋(n－1)×3＝3n.(2)由(1)得a2＝6，a4＝12，则b1＝6，b2＝12，设{bn}的公比为q，则q＝b2b1＝2，从而bn＝6×2n－1＝3×2n，所以数列{bn}的前n项和Sn＝61－2n1－2＝6(2n－1)．(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.Lovelife第11页共20页(1)求数列{an}的通项an；(2)设bn＝3an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)设等差数列{an}首项为a1，公差为d，由题意得，a1＋2d＝515a1＋15×142d＝225，解得a1＝1d＝2，∴an＝2n－1.(2)bn＝3an＋2n＝32n－1＋2n＝13·9n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝13(9＋92＋93＋…＋9n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)＝13·91－9n1－9＋n(n＋1)＝38·9n＋n(n＋1)－38.22.(文